某些樣條空間奇異性和插值適定性問題研究.pdf

1、眾所周知，樣條作為計(jì)算幾何中表示和逼近幾何對象的基本工具，在很多工程領(lǐng)域有著重要而廣泛的應(yīng)用．多項(xiàng)式函數(shù)的某些特例早已出現(xiàn)于一些數(shù)學(xué)研究工作中．鑒于客觀事物的復(fù)雜多樣性，開展多元樣條函數(shù)的研究，無論是理論上還是應(yīng)用上都有著重要意義．雖然多元樣條函數(shù)與一元樣條函數(shù)有著一定的聯(lián)系，但它絕不是一元樣條函數(shù)的簡單推廣，兩者之間存在著本質(zhì)的差別．所以有關(guān)它的研究成果不像一元樣條那樣完美，有些問題還值得進(jìn)一步研究．本文的主要工作如下： 在第

2、二章中，定義了類似于△<,MS>剖分的△<'μ><,MS>剖分，利用羅鐘鉉教授提出的模中生成基方法得到了對于任意的μ，S<'μ><,μ+1>(△<'μ><,MS>)空間奇異的代數(shù)型條件．王仁宏教授<'[1]>在1975 年將樣條函數(shù)的結(jié)構(gòu)等價地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題．2001 年羅鐘鉉教授<'[2]>通過定義模中的約化準(zhǔn)則給出了求解模中生成基的機(jī)械化方法．由于該方法獲得的一個內(nèi)網(wǎng)點(diǎn)處的協(xié)調(diào)方程的生成基在一般情況下由若干個一次和零次的模中多

3、項(xiàng)式向量所構(gòu)成，因此對于研究多元樣條函數(shù)空間帶來很好的便利條件．從杜宏<'[3]>的文中我們不難發(fā)現(xiàn)在△<'μ><,MS>剖分樣條空間奇異性和代數(shù)曲線的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)之間存在著一定的等價關(guān)系．我們還給出了當(dāng)μ= 2 時，S<'μ><,μ+1>(△<'μ><,MS>)樣條空間奇異時等價的幾何性條件．為了更好的說明我們的結(jié)論．一些具體的例子在該章中也給出．這些結(jié)果對于以后研究代數(shù)曲線的分類和參數(shù)化將有極大的幫助． 第三章，利用多元樣條對散

4、亂數(shù)據(jù)插值是多元樣條一個重要的應(yīng)用領(lǐng)域．二元樣條空間在數(shù)值逼近、曲面擬合、散亂數(shù)據(jù)插值、多元數(shù)值積分、有限元方法、偏微分方程數(shù)值解、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等方面有著廣闊的應(yīng)用．顯然，要了解多元樣條空間并將其應(yīng)用于實(shí)際，最首要的問題是弄清它的代數(shù)結(jié)構(gòu)．對于次數(shù)d相對光滑度r較大的情形，已經(jīng)有了許多的結(jié)論，如d≥3r+2的情形．但實(shí)際應(yīng)用中，由于低次樣條計(jì)算簡單和穩(wěn)定，人們對低次樣條空間更感興趣．例如r=1時，d=2,3,4的情況

5、．而S<'1><,3>(△)的情形則至今懸而未決，人們既不能給出其維數(shù)也不知道其維數(shù)是否依賴于剖分的幾何形狀．確立任何三角剖分下樣條函數(shù)空間S<'1><,3>(△)的維數(shù)遇到了難以想象的困難，成為多元樣條函數(shù)研究領(lǐng)域的一個公開問題．但空間S<'1><,3>(△)卻是一個特別重要的空間．之所以特別重要，除了二元三次樣條函數(shù)的計(jì)算簡單和穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)外，還在于它是維數(shù)(盡管我們目前還不能確切說明)超過其三角剖分頂點(diǎn)數(shù)的所有樣條函數(shù)空間次數(shù)最低的

6、．換句話說，空間S<'1><,3>(△)是可以在其三角剖分的所有頂點(diǎn)上考慮插值的次數(shù)最低的二元C<'1>樣條函數(shù)空間． 由于確立任意三角剖分空間S<'1><,3>(△)維數(shù)具有難以想象的困難，所以可以先考慮某些特殊的剖分．顯然，尋找一般的三角剖分，并給出其相應(yīng)的維數(shù)，具有十分重要的意義．在本章中，討論了滿足一定的條件的一類三角剖分，研究了在其上的S<'1><,3>(△)空間．我們先對該三角剖分進(jìn)行分解，然后遞歸地在該三角剖分上建

7、立了S<'1><,3>(△)空間的容許集和Lagrange插值集合，從而明確地確定了S<'1><,3>(△)的維數(shù)．因此能夠確定這類三角剖分的非奇異性．在本章的最后，還給出了一種在平面散亂點(diǎn)集上構(gòu)建三角剖分的方法，使得生成的三角剖分正好在我們所考慮的這類三角剖分內(nèi)． 第四章，眾所周知，二元多項(xiàng)式空間P<,d>的自由度個數(shù)是( )．那么，分片連續(xù)的多項(xiàng)式-二元樣條空間的維數(shù)是多少?這一問題對于研究樣條的插值適定性等許多其它的問題都

8、具有重要的意義．與多項(xiàng)式空間維數(shù)相比，樣條空間的維數(shù)研究異常困難，至今仍有許多與之相關(guān)的公開問題．三角剖分是實(shí)際中較常用的剖分，三角剖分下二元樣條函數(shù)維數(shù)的問題也最令人關(guān)注．二元樣條空間的維數(shù)研究問題，最早始于Strang<'[4]>給出的關(guān)于維數(shù)的猜想．最有代表性的是 L.L.Schumaker<'[5]>給出關(guān)于一般三角剖分下二元樣條函數(shù)維數(shù)的下界和上界．對于一個一般的三角剖分，很難給出一個通用的維數(shù)公式．因?yàn)闃訔l空間的維數(shù)不僅依賴

9、于三角剖分的拓?fù)湫再|(zhì)，即剖分的頂點(diǎn)數(shù)，邊數(shù)和三角形的個數(shù)，而且很強(qiáng)烈地依賴于剖分的幾何性質(zhì)．在本章中，我們利用對三角剖分的頂點(diǎn)進(jìn)行編號和光滑余因子方法，對一般的三角剖分的上界進(jìn)行了重新估計(jì)，改進(jìn)了以前的結(jié)論．特別是對含有奇異網(wǎng)點(diǎn)和貫穿線較多的三角剖分上的樣條空間效果更明顯．并且給出一些比較方便地判斷樣條空間維數(shù)的推論． 第五章，T-網(wǎng)格，從本質(zhì)上來說就是一個容許T結(jié)點(diǎn)的矩形網(wǎng)格．T樣條，是定義在T 網(wǎng)格上的PB樣條( Point

10、-Based Spline)．鄧建松等人<'[6]>在Sederberg<'[7]>等人引入的T樣條的基礎(chǔ)上，限制樣條在T網(wǎng)格的每個剖腔上是一個張量積多項(xiàng)式并且內(nèi)網(wǎng)線處滿足一定的光滑性，提出了T網(wǎng)格上樣條函數(shù)空間的概念．利用B網(wǎng)方法，他們得到當(dāng)光滑階小于多項(xiàng)式一半時規(guī)則T網(wǎng)格上樣條空間維數(shù)公式．在本章中我們利用對內(nèi)線的協(xié)調(diào)方程重新編序的技巧，使得協(xié)調(diào)方程組所對應(yīng)的系數(shù)矩陣正好為一個準(zhǔn)上三角矩陣，從而能夠方便地給出任意規(guī)則T網(wǎng)格樣條空間的