求解哈密頓-雅可比方程和非守恒雙曲方程組的高分辨率方法.pdf

1、本文主要研究高分辨率方法，如高階有限差分和有限體積加權(quán)本質(zhì)無振蕩格式（即：WENO格式）以及間斷Gerlerkin限元方法（即：DG方法），用于求解哈密頓-雅可比方程和非守恒雙曲方程組，特別是流體力學(xué)中的非守恒歐拉方程組；并成功地應(yīng)用于行人流問題和多相流問題。論文主要分為如下兩大部分：
　　 論文的第一大部分，我們推廣了求解靜態(tài)哈密頓-雅可比方程中的快速掃描三階WENO格式至快速掃描五階WENO格式，其中包含靜態(tài)哈密頓-雅可比方

2、程中一類特殊的方程，Eikonal方程。結(jié)合快速掃描高階WENO格式求解Eikonal方程，高階WENO格式求解雙曲守恒律方程，以及Runge-Kutta時間離散，我們對二維宏觀動態(tài)反應(yīng)連續(xù)行人流模型進行了高階數(shù)值模擬。宏觀動態(tài)反應(yīng)連續(xù)行人流模型是基于動態(tài)反應(yīng)行人平衡原則，在此原則下行人選擇行進路線，使得到達目的地的瞬時行進成本最小。它的控制方程為行人流密度的質(zhì)量守恒雙曲方程以及決定流通量方向的勢函數(shù)的Eikonal方程的耦合方程組。通

3、過數(shù)值模擬比較，高階格式在粗網(wǎng)格下能夠更有效的得出相應(yīng)低階格式細網(wǎng)格下的結(jié)果。而且我們用高階高分辨率方法模擬宏觀相向行人流模型，得出了明顯的相向行人流分層現(xiàn)象，相比于微觀模型下的行人流分層現(xiàn)象，宏觀模型能更加有效更加快速的得到這樣的結(jié)果。對于依賴時間的哈密頓—雅可比方程，本質(zhì)無振蕩格式（即：ENO格式）和WENO格式，以及DG方法和局部間斷Galerkin有限元方法（即：LDG方法），都是求解此類方程的非常有效的高階高分辨率方法。本文中

4、，圍繞哈密頓-雅可比方程，我們給出了直接求解一維和二維依賴時間的哈密頓—雅可比方程的DG方法和LDG方法的最優(yōu)L2先驗誤差估計。
　　 論文的第二大部分，我們用高階有限體積WENO格式和次區(qū)間分辨技巧求解非守恒歐拉方程組，并應(yīng)用于多相流問題。高分辨率方法如有限差分和有限體積高階ENO格式和WENO格式，都能夠很好的求解單介質(zhì)的守恒歐拉方程組。但對于多介質(zhì)的守恒歐拉方程組，高分辨率方法在介質(zhì)界面處有很強的振蕩，這種振蕩是目前幾乎所

5、有經(jīng)典格式都本質(zhì)存在的。因此對于這種多介質(zhì)問題，如果考慮原始變量的非守恒方程組，它能夠更好的模擬多介質(zhì)界面移動的問題，并能夠得到精準單調(diào)的解。對于包含非守恒乘積項的方程組，嚴格的弱解是定義在一組積分路徑上的?；诼窂椒e分理論，C．Pares等人發(fā)展了一系列的路徑守恒格式，但這些格式大部分只應(yīng)用于求解淺水方程。路徑守恒格式主要的問題是如何得到正確的積分路徑，并確保數(shù)值解能夠收斂到正確的解。R．Abgrall和S．Karni在2010年指出

6、這種路徑守恒格式在求解非守恒歐拉方程組時存在著問題，路徑守恒格式收斂不到正確的激波解。本文中，我們指出大部分本質(zhì)無振蕩格式，如全變差遞減格式（即：TVD格式），ENO和WENO格式，它們在間斷處都會被抹平。這種抹平，使得格式的解在間斷處存在過渡點，并且這種過渡點沒有落在真正的間斷積分路徑上。因此路徑守恒格式通過這些過渡點來構(gòu)造積分曲線，不能夠得到正確的積分路徑，從而得不到正確的數(shù)值解。我們的做法是采用有限體積WENO格式和次區(qū)間分辨技巧