關(guān)于自由不連續(xù)問(wèn)題的正則性和存在性.pdf

1、本論文主要有三方面內(nèi)容：一是討論SBV框架下的自由不連續(xù)問(wèn)題的部分正則性；二是討論SBD框架下的自由不連續(xù)問(wèn)題的存在性；三是討論SBH框架下的自由不連續(xù)問(wèn)題的存在性． 第一章簡(jiǎn)要概述了自由不連續(xù)問(wèn)題研究的背景、進(jìn)展以及本文所研究的問(wèn)題、運(yùn)用的方法和獲得的若干結(jié)果。 第二章引入本文所需要的基本知識(shí)、符號(hào)和相關(guān)的引理． 第三章首先討論了Mumford-Shah 泛函極小的一個(gè)正則性質(zhì)。運(yùn)用Excision方法得到了M

2、umford-Shah 泛函極小的一個(gè)Lipschlitz 性質(zhì)．其次討論了自由不連續(xù)問(wèn)題的極小函數(shù)的奇異集的奇異部分的Hausdorff維數(shù)估計(jì)，給出了Mumford-Shah泛函中的不連續(xù)集的奇異部分∑(u)的幾個(gè)表示。去掉了梯度的高級(jí)可積性的假設(shè)，即|▽u|∈L<'p><,loc> (Ω)，證明了H-dim(∑)≤N-2，給出了De Giorgi 猜想的一個(gè)部分回答． 第四章討論了SBH(Ω)空間中自由不連續(xù)問(wèn)題極小的存在

3、性．首先給出了SBH(Ω)空間的一個(gè)緊性定理，然后利用這個(gè)定理討論了兩個(gè)不同泛函的變分問(wèn)題。 第五章討論BD函數(shù)空間積分泛函的下半連續(xù)問(wèn)題和松弛結(jié)果。首先考慮LD空間滿足線性增長(zhǎng)的積分泛函的下半連續(xù)性；其次在SBD函數(shù)空間討論了被積函數(shù)為Carathéodory函數(shù)時(shí)的積分泛函在滿足對(duì)稱擬凸條件時(shí)的下半連續(xù)性，主要利用SBD函數(shù)空間的緊性定理和blow-up方法以及Morrey定理等給出了積分泛函關(guān)于L<'1>-強(qiáng)收斂的下半連續(xù)

4、性；然后利用BD函數(shù)的一維截?cái)喾椒ê徒Y(jié)構(gòu)定理，討論了在BD全空間上的積分泛函的下半連續(xù)性．最后討論SBD(Ω)空間中密度函數(shù)與x和u以及εu都相關(guān)的積分泛函關(guān)于L<'1>-強(qiáng)收斂的松弛結(jié)果．利用被積函數(shù)，f(x，u(x)，εu(x))類似SBV情形下關(guān)于，f(x，u(x)，▽u(x))的一個(gè)條件、對(duì)稱擬凸性質(zhì)、，Lusin 定理和全局方法(global method)等得到了積分泛函的松弛泛函的一個(gè)積分表示． 第六章給出了BD函

5、數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t(chain rule)的幾個(gè)特殊結(jié)果。首先給出了在BD函數(shù)的均勻化理論中一個(gè)有用的結(jié)果；然后給出散度形式的一些鏈?zhǔn)浇Y(jié)果。但對(duì)一般情形的鏈?zhǔn)椒▌t還沒(méi)有結(jié)果． 第七章討論了SBD(Ω)空間的自由不連續(xù)問(wèn)題極小的存在性。首先討論了一般形式的自由不連續(xù)問(wèn)題：考慮了兩類不同泛函的變分問(wèn)題。主要利用SBD函數(shù)空間的緊性定理， BD函數(shù)的Poincaré不等式等給出了變分問(wèn)題的存在性．這里沒(méi)有考慮u的有界性限制。然后給出了SBD