三次曲面及超曲面的飽和數(shù)問題.pdf

1、數(shù)學(xué)中一個重要的研究領(lǐng)域為研究代數(shù)簇上的整數(shù)點或有理數(shù)點分布.對于Fano代數(shù)簇，Manin猜想預(yù)測了代數(shù)簇上有理點的分布情況.給定一個定義在Q上的Fano代數(shù)簇X(∈)Pn和X上的—個有理點x∈X，我們可以將此有理點表示為x=(x0，…，xn)，其中(x0，…，xn)∈Zn+1且gcd(x0，…，xn)=1.定義此有理點x的高度為H(x):=max{|xi|，0≤i≤n}.對于給定的一個Zariski拓?fù)湎碌拈_子集U(∈)X，定義Nu

2、(B):=＃{x∈U(Q)，H(x)≤B}.
　　Manin猜想為對于給定的滿足X∩Pn(Q)≠θ的Fano代數(shù)簇X，存在一個適當(dāng)?shù)拈_子集UcX，使得對于充分大的參數(shù)B，有NU(B)=cxBβx(log B)ρx-1(1+o(1)),其中cx＞0為一個正常數(shù)，βX為一個正常數(shù)且當(dāng)X為曲面時取1，ρx表示X的Picard群的階.
　　同時，對于有大的群作用的代數(shù)簇，Bourgain，Gamburd和Sarnak[4]發(fā)展了仿射

3、篩法來研究代數(shù)簇上坐標(biāo)包含素因子個數(shù)少的整數(shù)點分布問題.隨后，Nevo和Sarnak[55]以及劉和Sarnak[52]分別考慮了齊次空間內(nèi)與仿射空間中二次曲線上坐標(biāo)包含素因子個數(shù)少的整數(shù)點分布問題.
　　給定一個定義在Q上的Fano代數(shù)簇X C Pn，我們把代數(shù)簇上坐標(biāo)含有素因子個數(shù)少的有理點x稱作殆素數(shù)點.然后我們將文獻(xiàn)[4]中的飽和數(shù)的概念推廣，用來研究代數(shù)簇X上的殆素數(shù)點分布問題.定義飽和數(shù)r(X)為使得滿足x∈X并且坐標(biāo)

4、乘積至多含有r個素因子的點x構(gòu)成X中一個Zariski拓?fù)湎碌某砻茏蛹淖钚≌麛?shù)r.
　　在本學(xué)位論文中，我們證明了對于某些三次曲面和超曲面，其飽和數(shù)是有限的.
　　在第二章中，我們考慮了Cayley三次曲面X1的飽和數(shù).Cayley三次曲面為P3中的奇異曲面，由方程X1:x1x2x3+x0x2x3+x0x1x3+x0x1x2=0所給定.將Hardy-Littlewood圓法及泛異面直線理論結(jié)合起來，我們證明了Cay-le

5、y三次曲面的飽和數(shù)r（X1）滿足6≤r(X1)≤12.應(yīng)用類似的方法，我們還考慮了其它奇異三次曲面的飽和數(shù)問題.令X2CP3為由方程X2:x1x2x3=x0(x1+x2+x3)2所定義的奇異三次曲面.我們將證明飽和數(shù)r（X2）滿足r（X2）≤12.
　　在第三章中，我們考慮Fermat三次曲面X3.Fermat三次曲面為在P3中的曲面，由方程X3:x30+x31+x32+x33=0定義.Fermat三次曲面是一個光滑的三次曲面.利

6、用Euler的參數(shù)解形式以及加權(quán)篩法，我們證明了r（X3）≤20.
　　接下來我們考慮能否對于一族光滑的三次曲面證明其飽和數(shù)有一個一致的上界.
　　Sofos和本文作者考慮了包含兩條不相交有理直線的光滑三次曲面的飽和數(shù)問題.在第四章中，我們給出關(guān)于該族曲面飽和數(shù)的結(jié)果.設(shè)X4為一個包含兩條不相交有理直線的光滑三次曲面，則飽和數(shù)r（X4）滿足r（X4）≤32.應(yīng)用的主要工具為曲面X4所具有的二次曲線叢結(jié)構(gòu)和加權(quán)篩法.
　

7、　更進(jìn)一步地，我們考慮了某個特定的包含兩條不相交有理直線的三次曲面X5，由方程X5:(x0-x1)x22+x1x2x3+(x0+x1)x23=x20x2+x213所定義.對于該曲面，我們能夠利用Green，Tao和Ziegler的一個結(jié)果代替加權(quán)篩法來得到一個更小的飽和數(shù).事實上，我們證明了飽和數(shù)r(X5）滿足r(X5)≤10.
　　在第五章中，我們把三次曲面的飽和數(shù)問題推廣到三次超曲面上.
　　作為例子，我們選取了Ferm