低秩和緊致表示在幾何建模中的應(yīng)用.pdf

1、由離散的點(diǎn)云構(gòu)造光滑的曲面表示是幾何建模與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的基本問題。在過去的二十多年中，隱式曲面重建已成為研究的焦點(diǎn)之一，這是由于隱式表示具有許多優(yōu)點(diǎn)，例如其易于實(shí)現(xiàn)交、差、并等集合操作，能夠表示幾何和拓?fù)浔容^復(fù)雜的物體。但是對于復(fù)雜的模型，現(xiàn)有的隱式曲面重建方法所得到的隱式表示的存儲量往往是巨大的。
　　本文第三章、第四章正是結(jié)合這一背景，就如何降低隱式表示的存儲量進(jìn)行了相關(guān)研究。在第三章，我們基于一種新的隱式表示形式—多層有理

2、代數(shù)樣條曲面提出了一種自適應(yīng)的益面重建算法。為了得到具有緊致表示的隱式曲面，我們結(jié)合張量的低秩逼近技術(shù)建立了局部擬合模型，然后將此模型轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題并用ADMM算法和CP分解算法求解。實(shí)驗(yàn)表明，與現(xiàn)有的方法相比，我們的方法可以大大降低隱式表示的存儲量，同時(shí)能夠得到高質(zhì)量的重建結(jié)果。此外，我們的方法還具有較強(qiáng)的自適應(yīng)能力。然而，上述的多層有理代數(shù)樣條曲面只有零階連續(xù)。為了能夠重建出具有更高光滑性的隱式曲面，同時(shí)迸一步降低隱式表示的存儲量

3、，本文第四章提出了一種基于相場引導(dǎo)的隱式曲面重建方法。我們采用層次B樣條作為曲面表示形式，以近似的相場函數(shù)作為引導(dǎo)，通過求解曲面擬合模型重構(gòu)得隱式函數(shù)，該函數(shù)在隱式曲面附近的值由-1平滑地變化到1，而在其他區(qū)域的值為常數(shù)（1或-1）。和現(xiàn)有的方法相比，我們的方法重構(gòu)得到的隱式曲面的存儲量更小，并且此曲面具有更高階連續(xù)性。此外，絕大部分曲面重建方法需要輸入點(diǎn)云的法向信息。然而，許多實(shí)際掃描的數(shù)據(jù)的部分法向是缺失的，或者法向信息不可靠，這給

4、曲面重建帶來了挑戰(zhàn)和困難。而我們的方法無需輸入點(diǎn)云的法向信息，這是本文方法的一大優(yōu)勢。
　　在等幾何分析中，區(qū)域的參數(shù)化和矩陣的裝配是兩個(gè)關(guān)鍵的步驟。我們研究發(fā)現(xiàn)，如果參數(shù)域和計(jì)算域間的映射的秩比較低，那么求解方程過程中矩陣裝配所需的時(shí)間將大大減少。本文第五章在這一背景下，就如何降低等幾何分析中參數(shù)表示的秩進(jìn)行了相關(guān)研究。我們使用張量的低秩逼近技術(shù)構(gòu)造了一種低秩的擬共形映射。為了計(jì)算該映射，我們給出了一種有效的算法，其主要思想是交