L-,p--空間中凸體幾何的度量理論研究.pdf

1、本學位論文致力于研究Lp-空間中凸體幾何的度量不等式和極值問題，隸屬于Lp-Brunn-Minkowski理論(又稱為Brunn-Minkowski-Firey理論)領域，該領域是近十多年來在國際上發(fā)展非常迅速的一個幾何學分支.本文主要利用Lp-Brunn-Minkowski理論的基本概念、基本知識和積分變換方法，研究了Lp-空間中凸體幾何領域諸多幾何體：L2-投影體，Lp-截面體，混合截面體，混合新幾何體г-p，iK以及由我們新引入的

2、Lp-仿射表面積、Lp-混合均質積分、Lp-混合仿射表面積所構成的度量不等式和極值問題. 利用Ⅱ2K是一個中心在原點的橢球這一特殊性質，在第二章給出了投影不等式Petty猜想的Lp-形式(p=1時即是Petty投影不等式猜想本身)在當p=2時，其逆形式的兩個結果，這些結果是對投影不等式Petty猜想的完善，同時建立了L2-投影體Ⅱ2K與標準化下經典投影體ⅡK的包含關系，還解答了一個約束最小化問題. 在第三章中，我們依據G

3、ardner和Giannopoulos，V.Yaskin和M.Yaskin，C.Haberel和M.Ludwig提出的概念，合理地用不同的符號重新定義了Lp-截面體IPK.對這一幾何體，給出了算子Lp的線性等價性，及其當p≤-1時的單調性結果，同時將Lp-截面體和Lp-對偶混合均質積分W-p，i(K，L)相結合，在正規(guī)化Lp-徑向加或者Lp-徑向線性組合的條件下，分別建立了關于Lp-截面體的對偶均質積分形式的Brunn-Minkowsk

4、i不等式及其隔離加強形式. Lutwak推廣了Winterniz單調性問題，即得到：假設K ∈Fn，且E是一個橢球，以及K的投影體的體積不超過E的投影體的體積，那么Ω(K)≤Ω(E)成立.在第四章，利用在Lp-混合體積和Lp-廣義仿射表面積之間所建立的等價關系，我們把上述Lutwak的結果推廣到LP-形式，而且作為這種等價關系的應用，建立了Lp-混合均質積分形式的Aleksandrov的投影定理和Petty-Schneider定

5、理. 在凸幾何中，凸體的極體是一個非常重要的研究對象.在最重要的仿射等周不等式中，Blaschke-Santaló不等式和Petty投影不等式是兩個與凸體的極體密切相關的不等式，可是對于星體而言，其極體卻并不一定存在.在第五章，利用Moszynska 介紹的星對偶概念，將混合截面體的星對偶與對偶均質積分結合起來，在調和p-組合或者p-徑向線性組合的條件下，分別建立了關于混合截面體的星對偶的對偶均質積分形式的Brunn-Minko

6、wski不等式. 根據Lutwak，Yang和Zhang提出的新幾何體г-pK，我們在第六章引入混合新幾何體г-p，iK的概念--新幾何體是它的特殊情形.對混合新幾何體г-p，iK，我們獲得了算子г-p，i的五個基本性質，建立了г-p，iK的體積v(г-p，iK)與凸體K的體積V(K)之間的關系，以及關于混合新幾何體г-p，iK的Shephard類問題. 此外，我們還在第七章研究了Lp-混合仿射表面積和Lp-質心體的相互