非線性系統(tǒng)中的多線性分離變量法和局域激發(fā)模式.pdf

1、在線性理論日臻完善的今天，非線性科學(xué)已經(jīng)蓬勃發(fā)展于各個研究領(lǐng)域而成為研究焦點。因此在研究過程中將無法避免地碰到各種各樣的非線性方程，而對于這些非線性方程的求解無疑成為非線性科學(xué)研究的關(guān)鍵所在，也是非線性研究的難點所在。不同于線性方程，由于線性疊加原理的失效，還沒有辦法給出本質(zhì)上的非線性系統(tǒng)的一般解。雖然一類特解能用一種或幾種方法得到，但一種方法通常不能得到各種類型的特解。因此，求解非線性系統(tǒng)沒有統(tǒng)一的方法。 通過眾多科學(xué)家的努力

2、，人們已經(jīng)建立和發(fā)展了不少求解非線性系統(tǒng)的有效方法，多線性分離變量法就屬于其中的一種，它實現(xiàn)了真正意義上的變量分離。到目前為止，多線性分離變量法已經(jīng)成功求解了一大類2+1維非線性系統(tǒng)和一些1+1維和3+1維的非線性系統(tǒng)。而且多線性分離變量法也已經(jīng)成功地應(yīng)用到了差分微分系統(tǒng)。本論文主要討論了多線性分離變量法的變量分離技巧，從而得到了新的多線性分離變量解，通過選擇合適的任意函數(shù)，得到了不同的新的局域激發(fā)模式。此外，多線性分離變量法還可以被進

3、一步推廣為一般多線性分離變量法，從而得到一些非線性系統(tǒng)的一般多線性分離變量解，這個解中包含了更多低維的變量分離函數(shù)。通過選取適當(dāng)?shù)娜我夂瘮?shù)，得到了非線性系統(tǒng)新的局域激發(fā)模式?，F(xiàn)將本文的主要內(nèi)容概述如下： 第一章是緒論，主要介紹孤波的發(fā)現(xiàn)和研究歷史，總結(jié)了當(dāng)前研究的狀況，簡單介紹了非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)研究方法，并給出了本論文的研究工作安排。 第二章首先介紹了多線性分離變量法的發(fā)展歷程和當(dāng)前的發(fā)展動態(tài)，其次概括性地論述了多線性分

4、離變量法求解非線性系統(tǒng)的一般步驟。應(yīng)用多線性分離變量法所得到的含有任意函數(shù)(一般包含p和q)的變量分離解是我們研究的重點。然后我們將多線性分離變量法應(yīng)用到2+1維Boiti-Leon-Pemponelli(BLP)方程和2+1維長波色散方程，討論了其變量分離新解和局域激發(fā)模式。適當(dāng)選擇新解中包含的任意函數(shù)，可以得到相當(dāng)豐富的孤子解形式，總的來說，在多線性分離變量法可解的模型中，如果選擇p和q為多種單值函數(shù)，可產(chǎn)生許多單值型局域激發(fā)，如拱