復雜網(wǎng)絡的漸近局部性質及疾病的傳播.pdf

1、復雜網(wǎng)絡結構存在于各種各樣的系統(tǒng).例如，細胞可被描述為通過化學反應連接化學物的復雜網(wǎng)絡；國際互聯(lián)網(wǎng)可以被描述為通過各種的物理的或無線的連接由路由器和計算機連接在一起的復雜網(wǎng)絡；萬維網(wǎng)是一個通過網(wǎng)頁超鏈接來連接的巨大的網(wǎng)絡.在數(shù)學中復雜網(wǎng)絡可以用圖論來研究.例如思想和理念在社會網(wǎng)上傳播，其節(jié)點表示人類，邊就表示各種社會關系.在本文第二章，我們嚴格證明了在一定條件下，在度序列給定的隨機圖中，有一個漸近局部性質：在圖中節(jié)點的總個數(shù)趨于∞時，隨

2、機選擇一個點V，距離它不大于m的所有點形成的導出子圖Tm(V)漸近無圈，即有限分支包含圈的概率趨于0，從而網(wǎng)絡從局部來看呈現(xiàn)出一個樹形結構，所以可用G-W分支過程的理論來討論疾病在任意度分布網(wǎng)絡中傳播的性質.我們主要是用隨機配置(randomconfiguration)模型來研究給定度序列的隨機圖的這一性質的，隨機配置模型是由Bollobás引進的，并且它部分地受到Bender與Candield[3]，Wormald[10]等人工作的影

3、響. 在本文第三章，我們研究了一類連續(xù)時間的隨機圖過程，因為現(xiàn)實世界中點的到達常常與時間有關，故我們研究在Bollobás模型基礎上點是連續(xù)時間到達的隨機圖過程產(chǎn)生的網(wǎng)絡的度分布情況，即考慮網(wǎng)絡中點到達的過程是Poisson過程，且新加點按照偏好依附規(guī)則(Bollobás模型的連邊規(guī)則)與網(wǎng)絡中已有點連邊，并得到網(wǎng)絡中節(jié)點的度分布仍然服從冪律分布.在本文第四章第一部分，我們介紹了用復雜網(wǎng)絡的理論來研究兩個傳染病模型：SIR模型和

4、SIS模型，以及在這兩個模型中如何計算疾病的傳播閾值，由復雜網(wǎng)絡的局部漸近性質可知SIR模型可以用分支過程理論來研究，從而根據(jù)母函數(shù)的方法可得到一些很好的性質.而SIS模型可以通過平均場的理論得以理解，且知不論在度相關Scale-Free網(wǎng)絡中還是度不相關Scale-Free網(wǎng)絡中都不存在非零傳播閾值. 在第二部分，我們介紹了用隨機點過程來研究疾病的傳播，因現(xiàn)實中人類個體具有不同的個性和參數(shù)，比如人的身高，年齡，體重等，而這些量