一類完全非線性拋物方程及其在圖像恢復中的應用.pdf

1、本文研究如下帶非線性源的完全非線性拋物方程(公式略).它來源于自然界中許多擴散現象,如無力磁場的阻性擴散、生物種群的生存與競爭、微分幾何領域的曲線收縮流、傳染病的蔓延、帶阻尼的彈性力學和Bellman-Dirichlet型問題等.本文的目的在于研究這類方程解的定性理論及其在圖像處理中的應用.
　　本文第一章是緒論部分.
　　在本文的第二章,第一部分我們致力于研究Φ(x,u)>0情形Dirichlet問題古典解的局部存在性.通

2、常情況下對m≠0,方程在△u(x,t)=0的點退化或奇異.據我們所知,目前還幾乎沒有文章涉及此類問題的古典解,尤其是多維情形.但是事實證明古典解確實是存在的.我們基于拓撲度理論,將問題轉化為某種線性化問題的古典可解性,而相應的線性化問題可以通過Rothe方法輔以廣義多孔介質方程正則化理論中的技巧求解.另外,解的比較原理對解的性質的研究起著重要的作用,我們基于古典解極值點的時間發(fā)展給出了比較原理簡單但巧妙的證明.
　　在本章第二部分

3、,我們在第一部分的基礎上用正則化方法分別研究了Φ(x,u)=uq的退化情形和奇異情形Cauchy問題連續(xù)解的局部存在性.我們從算子本身的特點出發(fā),在泛函框架中給出了正則化問題解的一致Holder估計,再利用算子的單調性和空間Lp(0,T;B)的緊性,輔以空間區(qū)域分解技巧得到正則化問題解的Laplacian的強收斂,最終通過極限過程證明連續(xù)解的局部存在性.
　　在第三章,我們在第一章建立的解的局部存在性和比較原理的基礎上研究了Φ(x

4、,u)=uq(q∈R),Ψ(x,u)=up(p>0)情形Cauchy問題解的長時間漸近行為,找到p的兩個臨界指標:整體存在指標p0和臨界爆破指標pc.首先我們研究q≥0情形,由于方程的非散度結構和二階項的完全非線性性,傳統(tǒng)的能量估計方法不再奏效.我們引入非線性局部容度,通過容度估計來研究p>q+m情形解的爆破行為.進一步,通過引入上(下)解,我們研究了0pc情形解的整體存在行為.不同于之前關

5、于臨界指標p的研究,我們發(fā)現還存在q的臨界指標:q0=m.當q>m,解的整體存在區(qū)間變大,任意非平凡初值爆破的區(qū)域退化.接下來我們用同樣的方法研究q<0的情形.
　　作為本文最后一章,我們將完全非線性拋物方程用于圖像恢復,彌補了經典TV模型在“坡”問題中的不足.首先我們在半群理論的框架下研究了一類自適應的完全非線性去噪模型(公式略)，證明了該方程Dirichlet問題積分解的適定性.該模型用△u的符號調節(jié)圖像水平曲線的擴散方向.數