衍射光柵數(shù)值模擬的模展開方法及Chebyshev配置Dirichlet-to-Neumann映射方法.pdf

1、衍射光柵是一種劇期結(jié)構(gòu),具有很多實際的應(yīng)用,例如單色儀,光譜儀,激光器,波分復(fù)用器,光脈沖壓縮設(shè)備及其他光學(xué)儀器等方面。數(shù)值方法在衍射光柵的設(shè)計,分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化等方面是必不可少的。理論上,當(dāng)光柵結(jié)構(gòu)在一個方向具有周期性的時候,可以用標準的數(shù)值方法,如有限元方法來解決問題。然而運用這些方法會產(chǎn)生一些很大的,復(fù)值的,不正定的線性方程組,求解這些方程組要用很多的計算時間。其他一些利用光柵結(jié)構(gòu)現(xiàn)有的幾何特性的方法反而更為有效。在衍射光柵方面現(xiàn)有

2、的方法包括解析模展開法,Fourier模展開法,有限差分模展開法,差分法和積分方程法等等。所有的模展開法都要求結(jié)構(gòu)具有均勻?qū)訝?這樣波場才能在每一層用特征根和特征向量的展開形式來表示。在應(yīng)用這些方法的過程中,求解每一層中的特征值問題是花費計算時間最多的一部分。
　　 在本文中,首先介紹解析模展開法和Fourier模展開法。Fourier模展開法是用Fourier序列展開法來解特征根問題的,由于較容易實現(xiàn),所以Fourier模展開

3、法是很常用的一種方法。然后給出一個四階有限差分的模展開法。所有的這些模展開方法都需要求解特征根問題。由于解特征根問題相對的用時較多,所以對于均勻?qū)訝畹难苌涔鈻?我們給出一種Dirichlet-to-Neumann(DtN)算子法。為了避免在每一層解特征根問題,我們構(gòu)造一個算子,這個算子把區(qū)域內(nèi)的波場映射到它在每一層邊界的法向?qū)?shù)上去。在實際應(yīng)用中,這個算子被稱為DtN算子,用一個矩陣來估計它。接下來在均勻?qū)訝罘较蛴靡粋€Chebyshev

4、配置方法離散,在周期方向用一個四階有限差分格式來離散,最后就可以高效地解出這個算子。在以前的工作中,DtN算子法被用于周期層狀的圓柱體結(jié)構(gòu)和分段均勻排列韻咣敲導(dǎo)。對于圓柱體結(jié)構(gòu),DtN算子用圓柱波來構(gòu)造。對于分段均勻排列的光波導(dǎo),在橫截面方向,用Chebyshev配置法和二階有限差分法來離散,從而構(gòu)造DtN算子。在四階有限差分的模展開法中,我們用了同樣的四階有限差分格式來離散周期方向。通過數(shù)值算例可以看出,DtN算子法比Fourier模