Obrechkoff方法在求解常微分方程振蕩、剛性問題中的應用研究.pdf

1、由于常微分方程本身的重要性以及在不同領域的廣泛應用，貫穿整個20世紀，常微分方程的數值求解研究得到了巨大的發(fā)展。特別是，隨著計算機性能的快速提高，一些著名數學軟件的不斷深化發(fā)展，更多的新思想得以實現，更多的復雜方法涌現出來，常微分方程數值求解以及數值方法發(fā)展研究的領域有不斷深化擴大的趨勢。計算機的數值計算功能對物理學中常微分方程研究的用途不僅僅是可以得到數值結果，更為重要的是，它為物理學家提供了“計算機模擬實驗”這個新的研究手段。有了計

2、算機數值計算這個強有力的工具，我們將目光投向物理領域中一些較為復雜的常微分方程(非線性Duffing方程，周期性振蕩方程以及剛性方程)的數值求解與相應數值方法的研究。在物理領域中，常?？梢杂龅揭恍煤苁菑V泛的常微分方程，例如薛定鍔方程、非線性Duffing方程、天體軌道方程以及剛性方程等。這些方程多為一階或二階的常微分方程，形式簡單，卻很少能得到解析解。即使數值求解也往往存在著求解精度不高或因方程本身性質特殊造成數值方法求解結果不盡理

3、想。在這些問題中具有代表性的有兩類問題：周期性振蕩問題與剛性問題。在本論文中，我們主要集中于這兩類問題相應的數值方法研究做出探討。對于周期性振蕩問題，我們主要關注二階常微分方程y"(x)+ω2y(x)=f(x，y)，y'(0)=y'0，y(0)=y0這類方程的近似解析解中常包含cos(ωx)、sin(ωx)或eiωx等周期性函數。鑒于其周期振蕩性質，往往造成數值方法求解困難，結果出現不穩(wěn)定，甚至發(fā)散。我們研究發(fā)現對于具有周期振蕩性質的問

4、題必須有匹配的數值方法，即數值方法也需具有周期振蕩性質。否則即使原本精度很高的方法，如果與所求解問題的性質不匹配，數值求解的結果也往往是不理想，甚至得到發(fā)散的結果。反之，如果數值方法與問題匹配但精度不夠，同樣也不能得到滿意的結果。為此，我們從兩方面出發(fā)研究針對周期性振蕩問題的數值方法。第一個方面，利用高階微商構建特殊結構線性四步高精度數值方法。由于受到計算機發(fā)展的限制，早期高階微商的計算往往過于復雜而少有在多步方法上應用。我們在這里做出

5、突破，將高階微商與多步方法結合；同時結構特殊兼有顯式與隱式特點，在得到高精度方法的同時又避免了過于繁瑣的計算工作量。 第二個方面，為了使線性四步方法與周期性振蕩問題性質匹配。我們從針對周期振蕩問題的P穩(wěn)定理論出發(fā)，突破P穩(wěn)定理論對線性多步方法的步數限制(兩步)，發(fā)展了具有較大穩(wěn)定區(qū)域的參數調控的四步Obrechkoff方法，并進一步發(fā)展了完全穩(wěn)定的P穩(wěn)定四步Obrechkoff方法。 這兩種方法突破了線性多步方法在與周期

6、性振蕩問題穩(wěn)定匹配方面局限，而且結構上也異于傳統上對數值方法顯式與隱式的判斷，從數值方法層面做出了突破。 對于剛性問題，我們主要討論解析解中含有多個指數形式(e-αx，e-βx，α，β為正實數)的常微分方程。 y'(x)=f(x，y)，y'(0)=y0，y(0)=y0由于不同指數部分衰減速度有很大差異，造成傳統Taylor級數方法求解步長限制很大，效率極為低下。與周期振蕩問題相似，對于剛性問題存在絕對穩(wěn)定(A穩(wěn)定)的理論