若干雙曲型方程的精確控制問題.pdf

1、本文主要討論雙曲型方程的精確可控性問題，全文分為三章.
　　在第一章中，我們利用逐片乘子法研究了第二類Petrovsky板方程{u"+△2u+u=xG(x)h（x，t)，（x，t)∈Ω×（0，T），u=△u=0，(x，t)∈?！?0,T),(1.1.1)u(0)=u0，u'(0)=u1， x∈Ω的精確內(nèi)部能控性問題，其中Ω是Rn中帶有邊界Γ的有界區(qū)域，G是Ω的一個子區(qū)域，T是一常數(shù)，xG(x)是G的特征函數(shù)，xG(x)h(x，t)

2、是局部分布控制，這類問題已在文獻(xiàn)[2，3，8，11]中被研究過.本文在和文[14]中類似的關(guān)于Ω和G的幾何條件下，證明系統(tǒng)(1.1.1)是精確內(nèi)部能控的.需要指出的是，關(guān)于第一類Petrovsky板方程的精確內(nèi)部能控性問題已在文獻(xiàn)[1]中被討論過.
　　在第二章中，我們利用HUM方法研究了一類變系數(shù)波動方程{y"-a(t)△y+qy=0，在Q內(nèi),y(x，t)=v，在∑上，(2.1.1)y(0)=y0，y'(0)=y1，在Ω內(nèi)的精確

3、能控性，其中Ω是具有C2邊界的有界開集，Q=Ω×(0，T)，∑=?！?0，T)，q:Ω→R是C1類的非負(fù)函數(shù), a是一個函數(shù)，滿足a，a'∈L∞（R+），a(t)≥ a0＞0.(2.1.2)我們想要找一個L2(∑)類的控制函數(shù)v，使(2.1.1)的解y=y(x, t)滿足y(x，T)=y'(x，T)=0，(V)T＞0.(2.1.3)在這種情況下，我們就說這個系統(tǒng)是精確可控的.在[17]中已經(jīng)證明了，對任意t≥0，當(dāng)a'(t）≥0時，(2

4、.1.3)式成立.本章的主要結(jié)果是，證明當(dāng)a(.)在[T0，T1]上單調(diào)，且使得T1-T0＞R√‖a‖∞/a0+ sR時，系統(tǒng)(2.1.1)是精確可控的，其中R=sup{‖x-x0‖;x∈Ω}，‖ a‖∞=sup{|a(t)|;t∈R}，s是正常數(shù)， x0是Rn中的定點(diǎn).本章在增加了一般項(xiàng)qy的基礎(chǔ)上，改進(jìn)了文[20]中的條件，獲得了新的結(jié)果，使其更具一般化.
　　在第三章中，我們運(yùn)用黎曼流形知識和希爾伯特唯一性方法，在將文[26