一類Hartogs域上的完備標(biāo)準(zhǔn)正交系與Bergman核函數(shù).pdf

1、設(shè)Q是C<'n>中的有界域，令．H<'2>(Ω)表示Ω上全純且平方可積的函數(shù)空間，即H<'2>(Ω)=Hol(Ω)n L<'2>(Ω)．在H<'2>(Ω)上引入內(nèi)積: = ，易知H<'2>(Ω)是Hilbert空間．由于H<'2>(Ω)是非空的可分的內(nèi)積空間。因此它上面存在可數(shù)的完備標(biāo)準(zhǔn)正交基．設(shè){ψk(z)}，k=0，1，…是它的一組完備標(biāo)準(zhǔn)正交基，則Q上的Bergman核函數(shù)定義為:而且，Ω上的Bergman核

2、函數(shù)是唯一的，它不依賴于Ω的完備標(biāo)準(zhǔn)正交基的選擇．另外，我們也可以根據(jù)Bergman核函數(shù)的再生性來(lái)定義Ω上的Bergman核函數(shù)． 從定義中可以看出，如果—個(gè)域的完備標(biāo)準(zhǔn)正交系已知，那么由上式可以求出它的Bergman核函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)形式，對(duì)于一些特殊的有界域，還可以通過(guò)一些運(yùn)算上的技巧得到它的Bergman核函數(shù)的有限形式．因此找到有界域的完備標(biāo)準(zhǔn)正交系對(duì)于我們顯式求出Bergman核函數(shù)有著重要的作用．對(duì)于C<'n>中的有

3、界域來(lái)說(shuō)，我們已經(jīng)知道了圓型域，Reinhardt域，semi-Reinhardt的完備標(biāo)準(zhǔn)正交系的一般形式．本文第一部分我們將給出分組圓型域的定義及完備標(biāo)準(zhǔn)正交系的一般形式． 文章的主要結(jié)果是：引進(jìn)分組圓型域的概念，給出分組圓型域的標(biāo)準(zhǔn)完備正交函數(shù)系的一般形式；作為它的應(yīng)用，我們計(jì)算出域日D的Bergman核函數(shù)的顯表達(dá)式．域日D定義如下：HD(1；m<,1>，n<,i>，m<,2>，n<,2>；p；q<,1>，q<,2>)=

4、{ξ∈∈C，Z ∈R<,I>(m<,1>，n<,1>)，W ∈R<,I>(m<,2>，n<,2>)：|ξ|<'2p><ψ(Z，W)}，這里ψ(Z，W)=det(I-ZZ<'t>)<'q1>det(J-WW<'t>)<'g2>，p>0，q1>0，q2>0，R<,I>，表示華羅庚意義下的第一類典型域，Z表示Z的共軛， Z<'t>表示Z的轉(zhuǎn)置，det表示行列式；在此基礎(chǔ)上，我們將得到的結(jié)論進(jìn)行推廣：若ξ=(ξ<,1>…，ξ<,r>)∈C<'r