一類(lèi)Hartogs域的Bergman核函數(shù)和陸啟鏗問(wèn)題.pdf

1、1921年,Bergman S.引進(jìn)Bergman核函數(shù)的概念,并在1933年將Bergman核函數(shù)的理論推廣到多個(gè)復(fù)變數(shù)的情況.Bergrnan核函數(shù)理論為數(shù)學(xué)中很多領(lǐng)域的研究提供了有用的工具.例如,復(fù)分析、微分幾何、數(shù)學(xué)物理等等.對(duì)Cn中的有界域,如何求出它的Bergman核函數(shù)的顯表達(dá)式并非易事,這已成為多復(fù)變研究中的一個(gè)重要方向. 陸啟鏗問(wèn)題源于陸啟鏗在1966年的一篇文章中提出的Bergrman核函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)的問(wèn)題.此

2、問(wèn)題自提出至今,引起很多數(shù)學(xué)家的興趣,并給出了大量例子,但給出的例子大都是反例.通過(guò)研究域的陸啟鏗問(wèn)題,可以知道域的Bergman核函數(shù)的零點(diǎn)分布情況,從而為判斷兩個(gè)域是否全純等價(jià)提供了有力的工具. 本文主要結(jié)果： (1)我們得到域Ω(N0,N1,N2;K,L)={(ξ,z,w)∈CN0+N1+N2:‖ξ‖2K

3、1+N2)π-(N0+N1+N2)G(Y)NΩ1(Z,Z)-(μ+N0L/K)NΩ2(W,W)-(v+N0/K). 在這一部分,我們首先由域Ω(1,N1,N2;K,L)的全純自同構(gòu)變換及完備標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系求其Bergman核函數(shù),其次利用膨脹原理計(jì)算出域Ω(N0,N1,N2;K,K)的Bergman核函數(shù).這種方法不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算高維復(fù)空間中一些有界域的Bergman核函數(shù)的顯表達(dá)式的過(guò)程,而且可以推廣到底空間是任意有限個(gè)包含原點(diǎn)

4、的有界可遞域的直乘積形式的Hartogs域. (2)討論域 Ω={(ξ,z,W)∈CN0+N1+N2:‖ξ‖2K<(1-‖z‖)L(1-‖w‖)}. 上的陸啟鏗問(wèn)題.在此,我們利用域Ω的全純自同構(gòu)變換將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成單變量問(wèn)題,根據(jù)RDuché定理得到一不等式.通過(guò)求解使不等式成立的條件,我們得出當(dāng)固定底空間的維數(shù)N1,N2與參數(shù)K,L時(shí),可求得充分大的正數(shù)g,使得當(dāng)纖維的維數(shù)N0≥g時(shí),所得Hartogs域都