分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對(duì)偶與完備性.pdf

1、上世紀(jì)50年代初，H.Hopf在研究李群的拓?fù)湫再|(zhì)時(shí)引入了分次Hopf代數(shù)的概念。當(dāng)H為Hopf代數(shù)時(shí)，考慮M<,H>(右H-模范疇)和M<'H>(右H-余模范疇)中的Hopf代數(shù)是人們感興趣的課題。特別地，當(dāng)H=KG時(shí)，M<'H>中的Hopf代數(shù)即為G-分次Hopf代數(shù)。Fischman和Montgomery在文獻(xiàn)[5]中給出了當(dāng)H為余擬三角Hopf代數(shù)時(shí)，右H-余模范疇M<'H>中Hopf代數(shù)的概念，并通過(guò)群G的雙特征標(biāo)給出了一般群

2、G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的概念，并指出當(dāng)G為交換群時(shí)，G-分次λ-扭Hopf代數(shù)即為KG-余模Hopf代數(shù)。 本文主要對(duì)兩個(gè)G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的對(duì)偶關(guān)系進(jìn)行了刻畫，進(jìn)一步研究了它們之間的對(duì)偶完備性，最后對(duì)一類特殊的雙積的對(duì)偶進(jìn)行了研究。作為特殊情況，還得到了通常Hopf代數(shù)的一些結(jié)果。首先，我們介紹了群分次扭Hopf代數(shù)的背景知識(shí)，在第一部分給出了雙特征標(biāo)和G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的有關(guān)概念和一些性質(zhì)，第二部分給出了

3、兩個(gè)G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的分次對(duì)偶的等價(jià)條件，即定理2.4，作為推論得到了通常Hopf代數(shù)的結(jié)果。 定理2.4設(shè)B，H均為局部有限的G-分次λ-扭Hopf代數(shù)，<-，->是B×H上的分次雙線性型，則B和H作為G-分次λ-扭Hopf代數(shù)是分次對(duì)偶的當(dāng)且僅當(dāng)B和H作為G-分次λ-扭雙代數(shù)是分次對(duì)偶的。 第三部分，討論了兩個(gè)強(qiáng)G-分次λ-扭Hopf代數(shù)的對(duì)偶的完備性。首先給出了一個(gè)關(guān)于完備性的刻畫，即定理3.2定理3.2

4、設(shè)B，H均為G-分次λ-扭雙代數(shù)，則B和H的分次對(duì)偶是完備的當(dāng)且僅當(dāng)B<'⊥>=0，H<'⊥>=0。 在推論3.3中討論了通常的Hopf代數(shù)B和H的對(duì)偶完備性的充要條件，其次在強(qiáng)G-分次條件下得到了局部有限的λ-扭Hopf代數(shù)B，H分次對(duì)偶完備性與B<,e>，H<,e>作為Hopf代數(shù)的對(duì)偶完備性的關(guān)系，即定理3.5定理3.5設(shè)B，H均為局部有限的強(qiáng)G-分次λ-扭Hopf代數(shù)，且它們關(guān)于雙線型<-，->是分次對(duì)偶的，則B，H的分

5、次對(duì)偶是完備的當(dāng)且僅當(dāng)B<,e>，H<,e>作為Hopf代數(shù)的對(duì)偶是完備的。在推論3．6中，給出了局部有限的強(qiáng)G-分次λ-扭Hopf代數(shù)B分次自對(duì)偶完備性的充要條件。 最后，第四部分在G是交換群的條件下討論了兩個(gè)G-分次λ-扭雙代數(shù)(Hopf代數(shù))B，H的分次對(duì)偶與雙積B★kG，H★kG作為雙代數(shù)(Hopf代數(shù))對(duì)偶的關(guān)系，即定理4．7和定理4．8定理4．7設(shè)B= B<,x>，H= H<,x>是兩個(gè)G-分次λ-扭雙代數(shù)，且雙特征