積分不等式的若干推廣.pdf

1、盡管多數(shù)微分方程無法求出精確解，但是人們可以利用適當(dāng)?shù)牟坏仁郊记蓪獾哪＿M行估計．這樣的估計可以證實解的存在性、唯一性、有界性、穩(wěn)定性和不變流形等定性性質(zhì)．這樣的不等式就足所謂的積分不等式．自從兩位數(shù)學(xué)家Gronwall和IlBellman提出具有劃時代意義的不等式以來，Gronwall-Bellman積分不等式及其離散形式存不斷地得到推廣． 歐陽亮在1957年為了研究二階微分方程解的有界性，給出了左邊足未知函數(shù)平方的積分不等式

2、，這個不等式推廣了Gronwall-Bellman的積分不等式．De—fermos在1979年為了建立熱力學(xué)第二定律與穩(wěn)定性之間的聯(lián)系，進一步把歐陽亮的不等式推廣成被積函數(shù)是未知函數(shù)的一次項與二次項的和的積分不等式．Pachpatte推廣了Defermos的積分不等式的離散化形式，推廣后的和差分不等式右邊的和號內(nèi)包含兩項，一項是未知函數(shù)的一次項，另一個是包含未知函數(shù)與一個非遞減函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的項．本文第二章進一步把Pathpatte的和

3、差分不等式推廣成帶有時滯的和差分不等式，其中和號內(nèi)是多項的和，和號內(nèi)的每一項包含未知函數(shù)與一個不具有單調(diào)性的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)．我們給出了不等式中未知函數(shù)的估計，并把所得結(jié)果用于研究時滯差分方程初值問題解的有界性與唯一性． 另一方面，Bihari在1956年把Gronwall-Bellman積分不等式中右邊被積函數(shù)中的未知函數(shù)推廣成未知函數(shù)與非遞減函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，Lipovan在2000年又把Bihari的積分不等式中的積分的上下限

4、從自變量推廣成可求導(dǎo)增函數(shù)，從而使積分不等式含有時滯．Agarwal等人在2005年又把Lipovan的積分不等式進一步推廣成Gronwall類時滯積分不等式，其中積分號外的常數(shù)項推廣成函數(shù)項，把兩個積分項推廣成多個積分項．Cheung在2006年把Pachpatte的一元積分不等式和Lipovan的二元積分不等式推廣成二元時滯積分不等式，這個不等式的左邊是未知甬?dāng)?shù)的冪函數(shù)，右邊是一個常數(shù)項與兩個積分項的和，其中一個積分項的被積函數(shù)含有

5、未知函數(shù)的冪函數(shù)，另一個積分項的被積函數(shù)含有未知函數(shù)與非遞減函數(shù)的復(fù)合函數(shù)．本文第三章第一節(jié)在Cheung和Agarwal等人結(jié)果的基礎(chǔ)上建立了一個具有時滯的Gronwall類二元積分不等式，與Cheung的不等式比較這個不等式把積分號外的常數(shù)項推廣成二元函數(shù)項，把二個積分項推廣成多個積分項，且不要求被積函數(shù)中與未知函數(shù)進行復(fù)合的函數(shù)具有單調(diào)性．為了克服沒有單調(diào)性帶來的困難，我們采用了單調(diào)化技巧，由已知函數(shù)構(gòu)造出強單調(diào)函數(shù)序列(即，每個

6、函數(shù)單調(diào)，且列中后一個函數(shù)與前一個函數(shù)的比也足單調(diào)函數(shù))．為了說明未知函數(shù)估計的有效區(qū)域，必須確定在不同情況下給出的多個區(qū)域之間的包含關(guān)系，我們利用比較不同區(qū)域的邊界條件得出了它們的包含關(guān)系．我們給出不等式中了未知函數(shù)模的估計，并把所得結(jié)果用于研究偏微分方程邊值問題解的有界性、唯一性與連續(xù)依賴性．用我們的結(jié)果可以估計Cheung[Nonlinear Anal．，2006，64，2112—2128]的積分不等式中未知函數(shù)的模，也可以估計A

7、garwal等人[Appl．Math．Comput．，2005，165，599—612]的積分不等式中未知函數(shù)的模．Pachpatte在2002年建立了含四重積分的二元積分不等式，不等式中未知函數(shù)都足一次的．本文在第三章第二節(jié)推廣了Pachpatte的結(jié)果，把Pachpatte的不等式右邊的未知函數(shù)的一次項推廣成非遞減函數(shù)與未知函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，給出了未知函數(shù)模的估計，把所得結(jié)果用來討論積分微分方程解的唯一性與有界性．本文在第四章第一節(jié)把

8、[J．Math．Anal．Appl．，2006，319，708—724]中的不等式推廣成一個新的和差分不等式，這個不等式和號外是一個非常數(shù)項，和號內(nèi)包括未知函數(shù)與不具有單調(diào)性的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)．我們給出了未知函數(shù)模的估計，并用我們的結(jié)果討論了偏差分方程邊界值問題解的有界性、唯一性和連續(xù)依賴性．第四章第二節(jié)把Pachpatte的關(guān)于未知函數(shù)是線性的和差分不等式推廣成關(guān)于未知函數(shù)足非線性的一個具有四重和的和差分不等式，并用所得結(jié)果討論了一類具

9、有雙重和的差分方程解的有界性與唯一性． 在動力系統(tǒng)中不變曲線起著重要作用．人們通過把一個動力系統(tǒng)限制存不變曲線上，可以把該系統(tǒng)簡化成低微動力系統(tǒng)．在1997年Ng等人研究了具有逐段常數(shù)變量的二階微分方程的不變曲線．司建國等人在2001年討論了不變曲線的解析性，在不動點的特征值不在單位圓和特征值在單位圓上但滿足Diophantine條件的情況下，證明了解析不變曲線的存在性，在2002年研究了另一個平面映射的解析不變曲線．最近研究不