若干重要不等式的推廣及應用【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　若干重要不等式的推廣及應用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：在數(shù)學研究領域里，不等式問題占有廣闊的天地。因此本文綜述

3、了幾類重要不等式的推廣及證明，如Hadmard不等式、Cauchy不等式、Abel不等式、Janous不等式等，同時舉例說明重要不等式在各個方面的具體應用。</p><p>　　關鍵詞：重要不等式；Hadmard不等式；Cauchy不等式；</p><p>　　The popularization and application of some important inequations&

4、lt;/p><p>　　Abstract：Inequalities hold vast world in mathematics researches.This paper mainly introduces the basic form and proofs of Cauchy inequality, Hadmard inequality, Abel inequality and Janous inequality

5、.Moverover,the the paper also gives a summary of the promotion of these inequalities systematically,while discussing emphatically the specific applications of these important inequations in all aspects. Key words： Impor

6、tant inequation; Hadmard inequality; Cauchy inequality;</p><p><b>　　1 前 言1</b></p><p>　　2 常用重要不等式的推廣2</p><p>　　2.1 Hadmard不等式及推廣2</p><p>　　2.1.1 Hadma

7、rd不等式2</p><p>　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣3</p><p>　　2.2 Cauchy不等式及推廣5</p><p>　　2.2.1 Cauchy不等式5</p><p>　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣6</p><p>　　2.3 Abel不等式及推廣8&l

8、t;/p><p>　　2.3.1 Abel不等式8</p><p>　　2.3.2 Abel不等式的推廣8</p><p>　　2.4 Janous不等式及推廣10</p><p>　　2.4.1 Janous不等式10</p><p>　　2.4.2 Janous不等式的推廣11</p>

9、<p>　　3 常用重要不等式的應用14</p><p>　　3.1在代數(shù)中的應用14</p><p>　　3.2 在幾何中的應用15</p><p>　　3.3 最值極值問題中的應用17</p><p>　　3.4 不等式之間的相互推導18</p><p>　　3.5 在概率論中的應用

10、19</p><p>　　4 總 結21</p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻22</b></p><p><b>　　1 前 言</b></p><p>　　眾所周知不等式作為數(shù)學的組成部分以及重要的推理工具，被

11、廣泛地應用到數(shù)學的各個領域。在分析學中不等式的作用更是不可替代。而其中一些常用不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式更在數(shù)學基礎理論的創(chuàng)建、延伸、和應用上起著非凡的作用，這使得不等式的研究成了當前數(shù)學研究的一個熱點。</p><p>　　近年來這些重要不等式一直受到廣泛的關注，不少學者對他們進行了較深入的研究與推廣。本文主要是綜合歸納相關的研究成果，如Hadmard不

12、等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式的基本形式和相關證明，并對以上四個重要不等式的推廣做了較系統(tǒng)綜述，并舉例說明了它們在各方面的具體應用。</p><p>　　在數(shù)學領域中靈活運用不等式可以使一些較為復雜的問題迎刃而解，一套數(shù)學理論最終甚至可以歸結為一個不同尋常的不等式。但是在部分情況下不等式還存在一定的局限性，因此探討重要不等式能夠在哪些情況下發(fā)揮作用，是否能夠得到進一步的推廣等問題就顯

13、得非常有必要。</p><p>　　大量的學者對于不等式的研究已經(jīng)趨于完善，但是仍舊缺少系統(tǒng)性地歸納和梳理。本文希望通過對現(xiàn)有研究進行總結與歸納，強化不等式作為數(shù)學領域的一個組成部分和一項推理工具的作用，以期更快捷有效地解決部分數(shù)學問題，并為今后相關的生活、工作、學習提供一定的參考價值。</p><p>　　2 常用重要不等式的推廣</p><p>　　重要不等式

14、是指在數(shù)學的計算與證明問題中常見的不等式。包括排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、冥平均不等式、權方和不等式、Cauchy不等式、切比雪夫不等式和琴生不等式等等。</p><p>　　鑒于不等式在科學研究中的重要地位，眾多學者對重要不等式繼續(xù)進行研究，獲得了一些更好的結果。</p><p>　　2.1 Hadmard不等式及推廣</p><p>　　2.1.1

15、 Hadmard不等式</p><p>　　定理2.1：設是是的連續(xù)凸函數(shù)，則對每一對有：</p><p>　　證明：因為是開區(qū)間上的連續(xù)凸函數(shù)，所以是連續(xù)的，因此可積。因為不僅是的中點，同時也是和的中點，其中利用為連續(xù)凸函數(shù)，則就有不等式</p><p>　　上式兩邊對從到積分，經(jīng)計算后就可以得到：</p><p>　　另一方面由于是連續(xù)凸

16、函數(shù)又可以得到：</p><p><b>　　證畢。 </b></p><p>　　Hadmard不等式（1.1）在不等式理論中占有重要地位，它不僅用來為證明其他不等式提供理論依據(jù)，還在其他問題的求解中有著廣泛的應用，例如求最值問題和求范圍問題等</p><p>　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣 </p><

17、;p>　　引理1：設是中點凸函數(shù)，即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則有，其中。</b></p><p>　

18、　引理2：設為連續(xù)凸函數(shù)，</p><p><b>　　如果那么</b></p><p>　　如果為上的遞增（減）函數(shù)，且，那么成立。</p><p>　　引理3：設為連續(xù)凸函數(shù)，且</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　。</b

19、></p><p><b>　　如果，那么</b></p><p>　　如果在遞增（減），且，那么也成立。</p><p>　　引理4：設為連續(xù)函數(shù)，則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中函數(shù)滿足：</b>&

20、lt;/p><p>　　定理2.2：設是連續(xù)凸函數(shù)，函數(shù)滿足</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　則有</b></p><p>　　。 </p><p><b>　　由于</b></p>&l

21、t;p>　　所以式是式的又一推廣。</p><p>　　證明：在引理3中令再由引理4知不等式則變?yōu)椴坏仁剑C畢。</p><p>　　2.2 Cauchy不等式及推廣 </p><p>　　Cauchy是法國數(shù)學家，1789年8月21日出生于巴黎，他對數(shù)論、代數(shù)、數(shù)學分析和微分方程等多個數(shù)學領域進行了深入的研究，并獲得了許多重要成果，著名的Cauchy不等式

22、就是其中之一。</p><p>　　Cauchy不等式是著名的不等式之一，且不失為一個十分完善的重要不等式。它不僅是數(shù)學分析的重要工具，還與物理學中的矢量、高等數(shù)學中的內(nèi)積空間和賦范空間有著密切的聯(lián)系。在以上相關解題過程中，適當、巧妙地引入Cauchy不等式，可以簡化解題過程，起到事半功倍的效果。</p><p>　　2.2.1 Cauchy不等式</p><p>

23、;　　定理2.3：若是任何實數(shù)，</p><p>　　則有 </p><p>　　(當且僅當時，等號成立)</p><p>　　證明：（數(shù)學歸納法）</p><p>　　當時，等號顯然成立。</p><p>　　假設當時，結論成立，即有：</p><p><

24、b>　　則當時，</b></p><p><b>　　證畢。</b></p><p>　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣</p><p><b>　　指數(shù)形式</b></p><p>　　引理5：設為不小于2的自然數(shù)，則對于 和有， </p><p>

25、;<b>　　，</b></p><p>　　等號成立的充要條件是，下面的成立；</p><p><b>　　使</b></p><p>　　若對每個至少有一個時，則，</p><p>　?。榕c無關的正值常數(shù)），且對于，恒有</p><p><b>　　或<

26、/b></p><p>　　引理6：設為不小于2的自然數(shù)，對于和有</p><p>　　等號成立的充要條件是，下面的成立；</p><p><b>　　時，同引理5；</b></p><p><b>　　時，且對</b></p><p><b>　　恒有<

27、;/b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　在引理5，6中令分別可以得到：</p><p>　　定理2.4：設為不小于2的自然數(shù)，則對有</p><p>　　。 </p><p><b>　　定理2.

28、5：設對有</b></p><p><b>　　積分形式</b></p><p>　　引理7: 設為不小于2的自然數(shù)，對區(qū)間上的任意可積函數(shù)</p><p><b>　　和有：</b></p><p>　　引理7中若或，則分別可以得到：</p><p>　　定理2

29、.6: 設為不小于2的自然數(shù)，對上的任意可積函數(shù)有：</p><p>　　定理2.7: 設為不小于2的自然數(shù)，對上的任意可積函數(shù)有：</p><p>　　Cauchy不等式作為數(shù)學不等式中一個基礎而且重要的不等式，在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，對解題時起了舉足輕重的作用。它將數(shù)列中各項積的和與和的積巧妙的結合在一起，使得許多問題得到了簡化。</p>

30、;<p>　　2.3 Abel不等式及推廣</p><p>　　2.3.1 Abel不等式</p><p><b>　　定理2.8: 設則</b></p><p>　　等號當且僅當時成立。</p><p>　　此不等式為著名的Abel不等式，它有著廣泛的應用，它在雙曲幾何中的地位如同Cauchy不等式在

31、歐氏幾何的地位一樣重要。</p><p>　　2.3.2 Abel不等式的推廣</p><p><b>　　引理8：設則</b></p><p>　　等號當且僅當時成立。</p><p><b>　　引理9：設，</b></p><p><b>　　則</b

32、></p><p>　　等號當且僅當且時成立。</p><p><b>　　定理2.9：設 則</b></p><p>　　等號當且僅當在且時成立。</p><p><b>　　證明：因為為此</b></p><p><b>　　令</b><

33、/p><p>　　根據(jù)題設條件及引理9，有</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　從而因此。</b></p><p><b>　　因為。</b></p><p><b>　　運用引理9，得</b><

34、/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　注意到</b></p><p>　　以之帶入上面不等式，得</p>&

35、lt;p><b>　　所以</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p>&l

36、t;p><b>　　于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因為</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><

37、p><b>　　。</b></p><p>　　從證明過程知，上不等式中等號當且僅當</p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　時成立。</b></p><p>　　在定理中令便可得到Abel不等式，可見Abel不等式是該定理的一個特殊形式。&l

38、t;/p><p>　　2.4 Janous不等式及推廣</p><p>　　2.4.1 Janous不等式</p><p>　　奧地利數(shù)學家W.Janous在1986年曾建立了下述幾何不等式：</p><p>　　定理2.10: 設的邊BC，CA，AB與面積分別為a,b,c,,記任意一點P到頂點A，B，C的距離,分別為,則 </p>

39、;<p>　　。 </p><p>　　等號僅當為正三角形且P為其中心時成立。</p><p>　　2.4.2 Janous不等式的推廣</p><p>　　引理10：設與的面積分別為，則對任意一點P有</p><p><b>　　，</b></p><p>

40、;　　等號當且僅當與為相似的銳角三角形，且P為的垂心時成立。</p><p>　　引理11：設的三邊與外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為</p><p><b>　　則對任意實數(shù)有</b></p><p><b>　　等號僅當時成立。</b></p><p>　　定理2.11：設與的面積分別為。又P為任意

41、一點，Q為內(nèi)</p><p>　　部任一點，Q到的距離分別為則</p><p>　　， </p><p>　　等號當且僅當，均為正三角形且P與Q分別為它們的中心時成立。</p><p>　?。ㄗⅲ涸摬坏仁皆谛问缴戏浅?yōu)美，從已有的文獻來看，類似的涉及兩個三角形與兩個動點的三角形幾何不等式是十分罕見的。）<

42、/p><p>　　證明：顯然以為邊長可構成一個三角形，記其面積為</p><p><b>　　由Heron公式：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　（其中為的半周長）易得</p><p><b>　　根據(jù)引理10有</b>&

43、lt;/p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　接下來證明：</b></p><p>　　為此，又先來證有關與任意正數(shù)的加權不等式：</p><p>　　按引理11知，欲證上式只要證：</p><p>　　兩邊乘以并利用，即知上式等價于</p>

44、<p>　　由顯然的不等式及已知的不等式：</p><p>　　即知前式成立，從而不等式得證。</p><p>　　將不等式中的換成即知，對與任意的正數(shù)有</p><p><b>　　在上式中取利用</b></p><p><b>　　就可得不等式</b></p><

45、;p><b>　　，</b></p><p><b>　　再根據(jù)不等式</b></p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可知</b></p>&l

46、t;p><b>　　，</b></p><p>　　這顯然等價于定理的結論，證畢。</p><p>　　3 常用重要不等式的應用</p><p>　　自古以來，物理量之間大小的比較為現(xiàn)實世界之必須，這導致了數(shù)學不等式的產(chǎn)生和發(fā)展。迄今，不等式的重要應用已貫穿于當代科學技術和工程領域的多個學科分支。</p><p>

47、;　　3.1在代數(shù)中的應用</p><p>　　例1：已知正數(shù)滿足證明</p><p>　　證明：由Cauchy不等式及得</p><p>　　又因為在此不等式兩邊同乘以2，再加上得從而可得</p><p><b>　　故</b></p><p>　　例2：已知,且，求證：</p>

48、<p><b>　　證明：</b></p><p>　　由權方和不等式：當或 ，有</p><p><b>　　。</b></p><p>　　當且僅當時取得等號。</p><p><b>　　可得：</b></p><p><b>

49、　　左</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　等號在取得。</b></p><p>　　3.2 在幾何中的應用</p><p>　　1.推導空間點到平面的距離和點

50、到直線的距離公式</p><p>　　已知點及平面：設為平面上的一點，則，，</p><p>　　由Cauchy不等式</p><p><b>　　當且僅當時等號成立</b></p><p><b>　　即有：</b></p><p><b>　　也就是</b

51、></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以點到平面的距離公式為：</p><p>　　同樣的辦法可推導出點到直線的距離公式為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　2．由Janous不等式及其推廣可以得到以下幾個漂亮而又

52、簡潔的猜想。</p><p>　　1）猜想1：對與任意一點有：</p><p>　　2）猜想2：對內(nèi)部任意一點有：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中分別為的角平分線。</p><p>　　注：雖然上面的2個猜想尚未得到有效的證明，但我相信在不久的將來，學者們對于Ja

53、nous不等式的進一步研究和推廣，一定會得到它們的證明。到那個時候Janous不等式在三角形中的作用將會更加的明顯。</p><p>　　3．已知為三角形三邊長，求證：。</p><p>　　證明：換元：令則不等式</p><p><b>　　由權方不等式可得</b></p><p>　　故原不等式成立且在即時取得等號。

54、</p><p>　　3.3 最值極值問題中的應用</p><p>　　例3：設求的最小值。</p><p>　　解： 由Cauchy不等式，可得</p><p>　　例4：已知 且，求的最小值。</p><p>　　證明：由權方和不等式得</p><p><b>　　，故&l

55、t;/b></p><p>　　當且僅當，即時取得最小值。</p><p>　　例5：證明：存在極小值。</p><p><b>　　證明：因為</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　求二階偏導數(shù)，得</b>&

56、lt;/p><p><b>　　因為 </b></p><p>　　由Cauchy不等式知 ，</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又因為</b></p&g

57、t;<p><b>　　所以有極小值。</b></p><p>　　3.4 不等式之間的相互推導</p><p>　　1.利用Abel不等式推導Popoviciu不等式。</p><p>　　在定理2.8中令，可得到下面的一個推論。</p><p><b>　　推論：設</b><

58、/p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　成立；</b></p><p>　　將代入上面的推論，整理可得到</p><p>　　即Popoviciu不等式。</p><p>　　2．利用Young不等式推導其他不等式。</p><p&g

59、t;　　Young不等式：設且滿足，則。</p><p>　　應用帶的Young不等式知，兩邊在上積分并取</p><p>　　，則馬上得到Holder不等式。</p><p>　　3.5 在概率論中的應用</p><p>　　1.在概率論中，線性回歸有樣本相關系數(shù)，并指出且不等式解釋樣本線性相關系數(shù)。</p><p&g

60、t;<b>　　現(xiàn)記，則</b></p><p>　　由Cauchy不等式有，</p><p><b>　　當時，</b></p><p>　　此時，為常數(shù)，點 均在直線</p><p><b>　　上，</b></p><p><b>　　當

61、時， </b></p><p>　　即 </p><p>　　而 </p><p><b>　　為常數(shù)。</b></p><p>　　此時，為常數(shù)，點均在直線附近，所以</p><p>　　越接近于1，相關程度越大。</

62、p><p><b>　　4 總 結</b></p><p>　　作為數(shù)學的一個重要分支，不等式有著悠久的發(fā)展歷史和極其豐富的內(nèi)容。由其悠久的發(fā)展歷史可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學不等式理論充滿蓬勃生機，而且已得到突飛猛進的發(fā)展。作為一種基本的工具，不等式在數(shù)學學科與其它科學技術領域都有廣泛的應用。</p><p>　　Hadarmard不等式、Cauchy不等式

63、、Abel不等式以及Janous不等式都是非常重要的不等式，并廣泛應用于在數(shù)學分析，對促進現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展起到了非常重要的作用。本文主要介紹了它們的基本形式、推廣形式以及應用。經(jīng)過本次論文的寫作，作者從各個方面加深了對不等式的了解，也深刻體會到它們的魅力性。這些不等式在形式、證明和應用上，都體現(xiàn)了代數(shù)與分析、概率與分析、高等數(shù)學與初等數(shù)學之間相互滲透，相互促進的內(nèi)在聯(lián)系。正如希爾波特所說：“數(shù)學是一有機整體，它的生命力依賴于各部分的聯(lián)系。

64、”除此之外，通過這次協(xié)作，本人也增強了自主探究數(shù)學問題的能力，掌握了研究數(shù)學問題的立足點和基本思想方法。如掌握研究數(shù)學問題或?qū)嶋H問題的方法是：發(fā)現(xiàn)問題——猜測結論——分析論證——推廣結論——應用結果。又如利用類比歸納的方法掌握對數(shù)學問題進行多層次全方位的推廣研究，向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推用的廣方法的聯(lián)合使再推廣。</p><p>　　在數(shù)學分析、調(diào)和函數(shù)、分析函數(shù)和偏微方

65、程等學科中上述不等式的身影處處可見，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識工具。本文的目的就是通過對若干重要不等式的推廣及應用相關內(nèi)容的整理歸納，使人們能夠更加清楚的認識到它們的作用。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] Mitrinovic D S, Lackovic I B. Hermite and convexity[J].Aeq

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