一類量子偶的表示及相關(guān)問(wèn)題.pdf

1、量子偶是一類非常重要的Hopf代數(shù),它由Drinfeld在研究量子Yang-Baxter方程的解時(shí)提出,所以又稱為Drinfeld偶。它的研究不僅極大的推動(dòng)了Hopf代數(shù)自身理論的發(fā)展,而且在理論物理,非交換幾何和低維拓?fù)涞阮I(lǐng)域也得到了成功應(yīng)用。作為量子偶的特例,有限維群代數(shù)的量子偶因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,應(yīng)用廣泛,自然就受到了廣大數(shù)學(xué)家的青睞。Cibils等在文獻(xiàn)[13,15,35,45]中分別對(duì)其表示進(jìn)行了刻畫。本論文主要討論二面體群的量子偶

2、的模表示:給出量子偶的所有不可分解表示的矩陣形式;給出量子偶的Auslander-Reiten quiver;給出量子偶的Grothendieck群的環(huán)結(jié)構(gòu)。另外,我們還討論了量子群(U)q(sl(2))的唯一的2維單模的n重張量積分解成直和的明確公式。同時(shí)討論了余環(huán)上余模的結(jié)構(gòu),得到一些余模范疇與模范疇等價(jià)的充分條件。我們的許多結(jié)論也可推廣到更一般的情形,從而為研究一般有限群的量了偶的表示提供了思路與方法。
　　 給定有限群G

3、,Witherspoon在文獻(xiàn)[45]中證明了域七上的群代數(shù)kG的量子偶是非半單的充分必要條件是k的特征整除G的階。本論文前二,三,四章討論量子偶D(kDn)的表示,其中k是特征為奇素?cái)?shù)p的域,Dn是2n階二面體群,且n=pst,s≥1。
　　 在第二章中我們通過(guò)Dn的共軛類的代表元的中心化子子群的不可分解表示構(gòu)造出量子偶D(kDn)的所有不可分解表示。于是,此章的主要工作可歸結(jié)為計(jì)算Klein四元群,循環(huán)群Cn和二面體群Dn的

4、不可分解表示。我們用導(dǎo)出的方法得到了這些群上的不可分解表示。
　　 在第三章中,我們探討量子偶D(kDn)的AR-quiver。我們證明了量子偶D(kG)的所有幾乎可裂序列均可由G的共軛類的代表元的中心化子子群的幾乎可裂序列導(dǎo)出。因此,本章的工作可歸結(jié)為計(jì)算kCn和kDn的幾乎可裂序列。幸運(yùn)的是,我們證明了kCn和kDn均是Nakayama代數(shù)。這樣,運(yùn)用文獻(xiàn)[3]中的方法,我們得到了D(kDn)的AR-quiver。
　

5、　 第四章的工作是描述量子偶D(kDn)的Grothendieck群的環(huán)結(jié)構(gòu)。設(shè)G是有限群,M是D(kG)-模,D(N)=kG(×)kG(gc)N是單D(kG)-模,其中g(shù)c是共軛類C的代表元,N是單kCG(gc)-模,則D(N)作為M的合成因子的重?cái)?shù)等于N=D(N)gc作為Mgc的合成因子的重?cái)?shù)(作為kCg(gc)-模)。因此,D(kG)的Grothendieck群的環(huán)結(jié)構(gòu)可通過(guò)一系列群代數(shù)的Grothendieck群的環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)描述

6、。我們用Brauer特征標(biāo)與Grothendieck環(huán)的關(guān)系來(lái)刻畫群代數(shù)的Grothendieck群的環(huán)結(jié)構(gòu)。
　　 在第五章中我們討論V(1)(×)n的分解式,其中V(1)是(U)q(sl(2))的唯一的2維單模。我們首先推廣了量子群(U)q(sl(2))的Grothendieck環(huán)結(jié)構(gòu),證明了標(biāo)準(zhǔn)基定理(定理5.1)。然后由此出發(fā)得到兩個(gè)組合公式,它們就是V(1)(×)n直和分解的系數(shù)。同時(shí)我們還用統(tǒng)一的方法證明了Clebs

7、ch-Gordan公式和量子Clebsch-Gordan公式。
　　 在論文的最后部分,我們討論余環(huán)上余模范疇與環(huán)上模范疇之間的關(guān)系。由Caenepeel等人的工作[10]我們知模范疇MB和余模范疇MC之間存在一對(duì)伴隨函子(F,G),其中環(huán)B余環(huán)C具有某種關(guān)系。此章的主要工作就是討論(F,G)何時(shí)成為一對(duì)互逆的等價(jià)函子。利用可裂叉和余可分余環(huán)的性質(zhì),我們給出了(F,G)成為互逆函子的條件,從而推廣了Caenepeel等人的工作。