流體力學(xué)方程基于POD方法的降維數(shù)值解法研究.pdf

1、特征正交分解方法(Proper Orthogonal Decomposition，簡(jiǎn)稱POD方法)，與Galerkin投影方法相結(jié)合，對(duì)于由偏微分方程組成的流體力學(xué)方程，是一種高效的降維方法。特征正交分解方法的降維本質(zhì)是將隨時(shí)間變化的物理過(guò)程進(jìn)行低維的近似描述，在捕捉系統(tǒng)能量的意義上達(dá)到最優(yōu)，從而達(dá)到減少計(jì)算量，節(jié)省計(jì)算時(shí)間和CPU負(fù)荷的效果。
　　本文將POD方法與SVD方法相結(jié)合來(lái)研究CVD方程的有限差分格式，結(jié)合Galerk

2、in投影方法導(dǎo)出了CVD方程具有較高精確度的低維模型，給出了CVD方程最優(yōu)化的有限差分格式，并導(dǎo)出了這種最優(yōu)化的有限差分格式的逼近解和通常的高分辨率有限差分格式的逼近解的誤差估計(jì)。數(shù)值例子表明基于POD方法的降維格式解和高分辨率有限差分格式解的誤差與理論分析的結(jié)果是一致的。
　　然后將POD降維技術(shù)與無(wú)結(jié)構(gòu)網(wǎng)格有限元方法相結(jié)合，應(yīng)用在三維海洋模型上，以帝國(guó)理工大學(xué)海洋模型(ICOM)為算例，得到了相應(yīng)的POD降維格式，創(chuàng)造性地提出

3、了用POD基函數(shù)對(duì)降維后的模型進(jìn)一步加速的方法，并給出了用有限元方法得到的高分辨率模型解和POD降維模型解理論上的誤差估計(jì)。通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)，我們得到了一組POD基函數(shù)，以及POD降維模型的數(shù)值解，從而驗(yàn)證POD方法在降維問(wèn)題上的有效性和可行性。
　　針對(duì)高雷諾數(shù)(Re)的PNS方程，利用POD降維技術(shù)得到相應(yīng)的降維模型，并且進(jìn)一步分析了不同的瞬像個(gè)數(shù)對(duì)降維模型的精確程度的影響。此外，還引入了索伯列夫空間H1范數(shù)的POD校正方法，來(lái)加

4、強(qiáng)POD降維模型的穩(wěn)定性。針對(duì)不同雷諾數(shù)的PNS模型，通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)分別得到最優(yōu)的擴(kuò)散系數(shù)，然后對(duì)POD基函數(shù)的構(gòu)造過(guò)程進(jìn)行校正，從而得到最優(yōu)的POD降維模型。高分辨率模型與POD降維模型之間的均方誤差和相關(guān)系數(shù)的分析，進(jìn)一步驗(yàn)證了POD降維方法的可行性，以及H1范數(shù)的POD校正方法的有效性。
　　對(duì)于尋找最優(yōu)初值條件的PNS方程的四維變分資料同化問(wèn)題，在PNS方程的POD降維模型的基礎(chǔ)上，在相應(yīng)的伴隨模式中引入POD降維技術(shù)，從而

5、得到POD降維的四維變分資料同化問(wèn)題。因?yàn)镻OD降維模型的有效性僅局限于控制變量的附近，如果當(dāng)前的模型狀態(tài)與構(gòu)造POD降維模型時(shí)的模型狀態(tài)差別很大，這時(shí)的降維模型可能已經(jīng)不再合適。于是，引入了一種自適應(yīng)的POD四維變分降維資料同化方法，在資料同化的過(guò)程中選擇一定的時(shí)間重新運(yùn)行高分辨率模型，從而生成新的瞬像，構(gòu)造新的POD降維模型。但是，在對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化的過(guò)程中，如何選擇合適的時(shí)間更新POD降維模型顯得非常重要。因此，我們將信賴域方法