非負(fù)矩陣與算子方程.pdf

1、本文研究的內(nèi)容分別涉及到非負(fù)矩陣和算子方程的有關(guān)內(nèi)容.非負(fù)矩陣?yán)碚摦a(chǎn)生于20世紀(jì)初，隨著這一理論的迅速發(fā)展，現(xiàn)在已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支.它與物理學(xué)，線(xiàn)性系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)甚至社會(huì)科學(xué)以及其他一些數(shù)學(xué)分支都有著密切聯(lián)系.近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)非負(fù)矩陣?yán)碚撋钊胙芯亢屯茝V，并不斷提出與非負(fù)矩陣相關(guān)的諸多新的研究方向.例如，完全正矩陣，完全負(fù)矩陣，余正矩陣等概念先后被引入，目前這些有關(guān)非負(fù)矩陣的課題得到了相當(dāng)廣泛的研究.

2、算子方程歷來(lái)是數(shù)學(xué)研究中較活躍的分支之一.對(duì)于算子方程，人們較多關(guān)注的是算子方程的求解問(wèn)題以及方程解的性質(zhì)等.這些對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題有很重要的意義. 本文共分四章，具體內(nèi)容如下：第一章主要介紹了本文中要用到的一些符號(hào)，定義和以后各章要用到的一些定理等.第一節(jié)介紹了不可約非負(fù)矩陣，置換矩陣，外圍譜，譜子集及有界線(xiàn)性算子等概念.第二節(jié)主要給出一些熟知的定理.如著名的Perron-Frobenious定理等. 第二章首先給出了具

3、有Perron-Frobenious性質(zhì)的矩陣的刻畫(huà)，即：若A∈Rn×，則下列性質(zhì)等價(jià).(i)A和AT具有強(qiáng)的Perron-Frobenius性質(zhì)；(ii)A是最終正的；(iii)AT是最終正的.其次，討論了上述矩陣中類(lèi)似于不可約非負(fù)矩陣的一些性質(zhì).最后討論了具有Perron-Frobenious性質(zhì)的矩陣的擾動(dòng)問(wèn)題. 第三章首先對(duì)完全正矩陣進(jìn)行了討論，得到雙非負(fù)矩陣是完全正矩陣的一個(gè)充要條件，即：設(shè)A=(aij)∈DNNn，如

4、果A=TTT，那么A∈CPn當(dāng)且僅當(dāng)存在m個(gè)非零向量x1，…，xm∈S*T使得下式成立：x1xT1+x2xT2+…+xmxTm=Ik，其中，T是k×n(k=rank(A))實(shí)矩陣.其次，給出一定條件下，A=An的充要條件，其中A是可約非負(fù)矩陣.即：若A≥0是可約的且r(A)=1，則A-An=0當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)置換矩陣P使得下式成立：PAPT={A110…00A22…0……(…)00…Arr}.其中，對(duì)所有的1≤i≤r，Aii是不可約的且