三類高維系統(tǒng)的分岔、混沌及控制研究.pdf

1、本文先以一個(gè)映射系統(tǒng)為例分析了不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)后發(fā)生各類分岔、混沌等動(dòng)力學(xué)行為，然后針對(duì)一個(gè)兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)重點(diǎn)分析了其周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)后發(fā)生兩種不同的倍化分岔導(dǎo)致混沌現(xiàn)象，最后以一個(gè)平面兩自由度雙擺模型為例說明了其運(yùn)動(dòng)微分方程及具有周期系數(shù)的擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程的建立過程以及穩(wěn)定性、分岔、混沌和分岔控制等研究方法。本文的研究主要有以下方面：
　　1.從映射系統(tǒng)、碰撞振動(dòng)系統(tǒng)、周期系數(shù)系統(tǒng)三種模型有關(guān)穩(wěn)定性、分岔、混沌、分岔控制等方面的理論

2、研究和工程應(yīng)用背景出發(fā)，綜述了部分研究成果、最新發(fā)展動(dòng)態(tài)。介紹了論文的研究?jī)?nèi)容與主要結(jié)果。
　　2.研究了一類三維映射系統(tǒng)，考慮了其不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)后可能發(fā)生的幾類分岔，根據(jù)發(fā)生不同類型分岔時(shí)特征根應(yīng)滿足的特點(diǎn)，確定了系統(tǒng)參數(shù)需要滿足的條件。以不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)發(fā)生Hopf-Flip分岔為例，利用中心流形-范式方法和投影法說明了三維映射研究分岔的過程，計(jì)算了相關(guān)范式系數(shù)，最后通過數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證其結(jié)果。結(jié)果表明，該映射存在因不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)而發(fā)生典型倍周

3、期分岔導(dǎo)致混沌的過程，也存在因Hopf圈多次發(fā)生環(huán)面倍化而導(dǎo)致混沌的過程。不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)發(fā)生Hopf分岔后，可能經(jīng)歷由光滑不變?nèi)?環(huán)面倍化-環(huán)面破裂-非光滑不變?nèi)Φ淖兓^程。滿足4階強(qiáng)共振Hopf分岔?xiàng)l件時(shí)不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)后通過4條映射軌道形成吸引不變?nèi)ΓS著參數(shù)的改變不變?nèi)ζ屏研纬?階Hopf圈，參數(shù)進(jìn)一步改變，可收斂于周期4點(diǎn)。滿足非共振Hopf-Flip分岔?xiàng)l件時(shí)映射不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)后會(huì)形成2個(gè)環(huán)狀或管狀混沌吸引子；滿足弱共振(λ60=1)Hop

4、f-Flip分岔?xiàng)l件時(shí)不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)后會(huì)形成周期6點(diǎn)；滿足強(qiáng)共振(λ40=1)Hopf-Flip分岔?xiàng)l件時(shí)不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)后會(huì)形成4個(gè)相連或不相連的帶狀混沌吸引子或周期4點(diǎn)。
　　3.研究了一類碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，理論分析及數(shù)值驗(yàn)證了系統(tǒng)除存在典型倍周期分岔外，還存在非典型的倍周期分岔。結(jié)果表明系統(tǒng)參數(shù)在滿足非共振的Hopf分岔(但靠近強(qiáng)共振或弱共振區(qū)域)條件下，系統(tǒng)周期1-1運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)首先形成擬周期運(yùn)動(dòng)(Poincaré截面上不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)形成Hop

5、f圈)，如果系統(tǒng)參數(shù)臨近共振區(qū)，由于Arnold舌的存在，在n階強(qiáng)(弱)共振點(diǎn)附近不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)后沿n條映射軌道收斂于Hopf圈，當(dāng)參數(shù)變化且穿越n階強(qiáng)(弱)共振參數(shù)區(qū)(Arnold舌)時(shí)，Poincaré截面上不動(dòng)點(diǎn)失穩(wěn)發(fā)生次諧分岔而形成穩(wěn)定周期n點(diǎn)，參數(shù)進(jìn)一步改變則經(jīng)次諧倍化分岔而形成穩(wěn)定周期2n點(diǎn)，參數(shù)再次改變則再經(jīng)次諧倍化分岔而形成穩(wěn)定周期4n點(diǎn)，8n點(diǎn)，16n點(diǎn)，…，混沌狀態(tài)，最終形成n條分支共存形式的n條倍化分岔導(dǎo)致混沌序列。<

6、br>　　4.研究了一個(gè)平面兩自由度雙擺力學(xué)模型，先根據(jù)拉格朗日方程建立了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，當(dāng)端點(diǎn)作給定運(yùn)動(dòng)情況下，利用運(yùn)動(dòng)過程中的幾何邊角關(guān)系、微分關(guān)系將運(yùn)動(dòng)微分方程中的微分變量分別用端點(diǎn)的坐標(biāo)及它們的各階導(dǎo)數(shù)表示，得到系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)，并推導(dǎo)出非顯示形式的擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程。采用漸近逼近法，逐步確定擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程一階、二階和三階近似，最終可以得到擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程的任意階近似。這樣將原系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性與分岔的分析就轉(zhuǎn)化為對(duì)擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微

7、分方程n階近似的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與分岔的分析。對(duì)于擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程來講，其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及失穩(wěn)后的分岔類型一般是由其前三階項(xiàng)確定的，即4階及以上高階非線性項(xiàng)一般不會(huì)在本質(zhì)上影響分析其局部動(dòng)力學(xué)行為，本文最終推導(dǎo)出擾動(dòng)微分方程的六階近似，并且通過數(shù)值計(jì)算，比較了相同參數(shù)下擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程6階近似和擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程3階近似在分岔過程上的差異，驗(yàn)證結(jié)果表明除運(yùn)算時(shí)間外兩者是一致的。
　　5.介紹了線性周期系數(shù)微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性與常系數(shù)微分

8、系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系，給出穩(wěn)定性判據(jù)。介紹了非線性周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與對(duì)應(yīng)線性周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的關(guān)系，給出穩(wěn)定性判據(jù)。將周期系數(shù)微分系統(tǒng)經(jīng)過一系列ti=(i-1)×T→i×T(i=1，…，n)積分可以確定n個(gè)狀態(tài)點(diǎn)，其在Poincaré截面(σ={(φ10，φ10，φ20，φ20，t)∈R4×S｜t=T})上形成的對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)成Poincaré映射，利用映射分岔?xiàng)l件給出了周期系數(shù)微分系統(tǒng)平衡點(diǎn)失穩(wěn)后可能發(fā)生的幾種分岔的分岔?xiàng)l件。介紹了周

9、期系數(shù)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的解析分析過程。最后通過調(diào)整系統(tǒng)參變量進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，最終得到Flip分岔、非共振Hopf分岔(λn0(ε0)≠1，n≠1，2，3，4，…)、強(qiáng)共振(λ3=1、λ2=1)Hopf分岔、Hopf-Flip分岔等行為，從結(jié)果來看周期系數(shù)系統(tǒng)與常系數(shù)微分方程或差分方程有基本類似的分岔行為。給出了兩種不同情形的Hopf-Flip分岔結(jié)果：一種情形是平衡點(diǎn)失穩(wěn)后可形成穩(wěn)定2階Hopf圈或高階周期點(diǎn)，而另一種情形是平衡點(diǎn)一旦

10、失穩(wěn)后不能穩(wěn)定于Hopf圈或周期n點(diǎn)。對(duì)于強(qiáng)共振(λ2=1)Hopf分岔，是一種特殊情形，在此種情況中，隨參數(shù)不斷變化特征根在臨近-1穿越單位圓時(shí)，4個(gè)負(fù)實(shí)根突然分解為2個(gè)模小于1的負(fù)實(shí)根和一對(duì)復(fù)共軛特征根，最終是一對(duì)復(fù)特征根在很小參數(shù)區(qū)間穿越單位圓(另2個(gè)仍為模小于1的負(fù)實(shí)根)，穿越后為一對(duì)-1根(另2根仍為模小于1的負(fù)實(shí)根)，正是由于特征根穿越單位圓周的特殊性，導(dǎo)致分岔結(jié)果的特殊性：穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)-周期2焦點(diǎn)-穩(wěn)定的Hopf圈-周期2結(jié)

11、點(diǎn)-周期4結(jié)點(diǎn)、8結(jié)點(diǎn)、16結(jié)點(diǎn)、…、2n點(diǎn)，直至混沌，并得到此種情況倍周期分岔導(dǎo)致混沌相圖。
　　6.先介紹了針對(duì)常系數(shù)系統(tǒng)的分岔行為進(jìn)行控制的線性法、平移法以及狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)整控制法等三種方法。然后將上述三種控制分岔混沌的方法應(yīng)用于周期系數(shù)系統(tǒng)，對(duì)周期系數(shù)系統(tǒng)平衡點(diǎn)失穩(wěn)后發(fā)生的倍化分岔、Hopf分岔兩種情形的分岔行為進(jìn)行控制，從數(shù)值上驗(yàn)證其可操作性，得到了系統(tǒng)在控制前后的分岔圖。對(duì)于倍化分岔控制：(1)采用線性法，當(dāng)選取適當(dāng)

12、的控制參數(shù)，可將周期2點(diǎn)控制到周期1點(diǎn)，或控制到Hopf圈；(2)采用狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)整控制法，當(dāng)選取適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)，可將周期2點(diǎn)控制到周期1點(diǎn)，或控制到Hopf圈、混沌狀態(tài)；(3)平移法未能達(dá)到控制分岔的目的。對(duì)于Hopf分岔控制：(1)采用線性法，當(dāng)選取適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)，可將Hopf圈控制到周期1點(diǎn)，或控制到另一個(gè)光滑Hopf圈或變形的Hopf分岔圈；(2)采用狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)整控制法，當(dāng)選取適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)，可將Hopf圈控制到周期1