阻力對完全非彈性蹦球運動軌道穩(wěn)定性的影響.pdf

1、蹦球指在豎直簡諧振動臺面上蹦跳的球，是一種最簡單的非線性動力學系統(tǒng)，球與臺面之間的碰撞恢復系數(shù)e決定了蹦球的運動性質(zhì)。本文考慮一種極端情況，球與臺面間碰撞恢復系數(shù)為0，二者進行完全非彈性碰撞。隨著臺面振動強度的增大，完全非彈性蹦球每一跳的飛行時間和相對臺面的著陸速度會依次經(jīng)歷一系列倍周期分岔過程。在2n階分岔點之前，存在一個“平臺”區(qū)，平臺區(qū)內(nèi)蹦球進行穩(wěn)定n倍周期運動；當n?1時，2n階分岔點之后存在蹦跳密集區(qū)。在密集區(qū)內(nèi)蹦球的運動非常

2、復雜，存在大量倍周期分岔現(xiàn)象且分岔點非常密集，蹦球運動敏感地依賴于振動強度的變化，分岔相圖中還存在著自相似結(jié)構(gòu)。
　　本文研究了完全非彈性蹦球密集區(qū)起點處和終點處的運動狀況，發(fā)現(xiàn)在密集區(qū)的尾部有一段很短的區(qū)域，在這段區(qū)域內(nèi)蹦球運動的周期由若干次跳躍組成，永遠不會落入吸收區(qū)，但具有明顯的周期性；在第二個密集區(qū)中間部位有一段僅由兩次跳躍便落入吸收區(qū)的區(qū)間，這段區(qū)間之前的密集區(qū)部分也是永不落入吸收區(qū)的周期性運動。在完全非彈性蹦球中分別引

3、入大小恒定的力和大小隨蹦球相對振臺速度變化的粘滯阻力，發(fā)現(xiàn)在這兩種性質(zhì)的阻力作用下，密集區(qū)尾部仍可觀察到永不落入吸收區(qū)的穩(wěn)定倍周期運動。
　　將蹦球每一跳的飛行時間看做一維映射，引入Lyapunov指數(shù)，根據(jù)Lyapunov指數(shù)的正負判斷蹦球的運動是否混沌，發(fā)現(xiàn)在不考慮阻力時蹦球運動不會出現(xiàn)混沌。加入大小恒定的阻力之后，蹦球的運動仍始終是倍周期的；在此基礎(chǔ)上，加入一個與蹦球和振臺的相對速度方向相反、大小成正比的粘滯阻力，蹦球的運動