非光滑優(yōu)化問(wèn)題的弱尖銳極小解的特征刻畫(huà)及其應(yīng)用.pdf

1、本文主要研究無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題(P)minf(x) subject to x∈X弱尖銳極小解的初始特征刻畫(huà)和對(duì)偶特征刻畫(huà)，其中X是巴拿赫空間，f:X→(R)是下半連續(xù)的真函數(shù)。為了利用無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題給出解決帶無(wú)限不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的一致性方法，我們引進(jìn)了更廣義的弱尖銳極小解的概念。通過(guò)運(yùn)用巴拿赫空間的方向?qū)?shù)和切錐以及運(yùn)用對(duì)偶空間的的法錐和次微分，研究目標(biāo)函數(shù)f凸和非凸情形下的弱尖銳極小解的幾何特征。本文的主要內(nèi)容分為以下兩部分:
　

2、　在第一部分中，我們研究目標(biāo)函數(shù)f為凸函數(shù)的情形。對(duì)帶閉凸約束集的優(yōu)化問(wèn)題，為了明確目標(biāo)函數(shù)和約束集在一階最優(yōu)化條件中的作用，我們總是假定正則化條件MQC成立。在此基礎(chǔ)上，我們考察弱尖銳極小解的各種特征。初始的特征從某種意義講比較基礎(chǔ)，從定義出發(fā)考慮，需要用到方向?qū)?shù)和切錐。對(duì)偶的特征則需要用到大量的對(duì)偶性結(jié)論和次微分公式。通過(guò)運(yùn)用巴拿赫空間的對(duì)偶技巧和凸分析的技巧，我們得到相應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題的全局弱尖銳極小解，局部弱尖銳極小解和有界弱尖銳極

3、小解成立的充分必要條件。特別地，當(dāng)約束集為全空間時(shí)，得到了巴拿赫空間中無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題(P)的弱尖銳極小解的等價(jià)刻畫(huà)。我們的結(jié)果推廣和改進(jìn)了凸優(yōu)化中的相應(yīng)結(jié)論。作為應(yīng)用，我們考查了凸無(wú)限優(yōu)化問(wèn)題的弱尖銳極小解。通過(guò)更廣義的弱尖銳極小解的定義，建立約束優(yōu)化問(wèn)題與基本的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的等價(jià)關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，利用上確界函數(shù)的相應(yīng)次微分公式，得到無(wú)限優(yōu)化問(wèn)題的弱尖銳極小解的各種幾何特征。
　　在第二部分中，我們考慮了目標(biāo)函數(shù)f非凸的情形。文

4、中引入了比凸更廣的D-次光滑和D-半次光滑的概念。運(yùn)用非光滑分析和變分分析的技巧，我們首先研究了無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題(P)在巴拿赫空間和Asplund空間中的局部弱尖銳極小解存在的充分和必要條件。在此基礎(chǔ)上，利用與基本的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的等價(jià)關(guān)系，我們研究了無(wú)限優(yōu)化問(wèn)題的弱尖銳極小解。為此，我們給出D-次光滑和D-半次光滑背景下具有上半連續(xù)性質(zhì)的和函數(shù)與上確界函數(shù)的次微分公式，進(jìn)而得到相應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題的弱尖銳極小解關(guān)于Fréchet次微分，極限次微