一類高階分?jǐn)?shù)階偏微分方程的全離散局部間斷有限元方法研究韋雷雷.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微積分是傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分的推廣,是數(shù)學(xué)建模過程中一個非常有用的工具.經(jīng)過三個多世紀(jì)的發(fā)展,已經(jīng)引起了越來越多的學(xué)者及工程技術(shù)人員的興趣和重視.目前分?jǐn)?shù)階偏微分方程模型已經(jīng)在越來越多的領(lǐng)域中得到應(yīng)用,如導(dǎo)體物理、軟物質(zhì)、控制工程、電容理論、反常擴散、生物數(shù)學(xué)、統(tǒng)計力學(xué)、電解化學(xué)、流變學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)系統(tǒng)、材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)識別、凝聚態(tài)物理等.
　　最近幾十年對分?jǐn)?shù)階偏微分方程的研究日益廣泛和深入.但對于大多數(shù)分?jǐn)?shù)階

2、偏微分方程,解析解的形式太過復(fù)雜,而且一般不能顯式地表示出來,很難在科學(xué)及工程實踐中得到應(yīng)用,所以運用數(shù)值計算方法得到分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值解就成為一個很好的選擇,對這類方程的數(shù)值解法進行研究有著重要的理論和實踐意義.目前對于含有高階空間導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值方法方面的研究非常有限,這就促使著我們從這個方向上做出努力.本文應(yīng)用全離散的間斷有限元方法對一類含有高階空間導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階偏微分方程進行研究,包括時間分?jǐn)?shù)階擴散方程、時間分?jǐn)?shù)階K

3、dV方程、時間分?jǐn)?shù)階Kawahara方程和時間分?jǐn)?shù)階四階問題.
　　分?jǐn)?shù)階擴散模型能夠克服經(jīng)典的整數(shù)階模型在模擬反常擴散問題時理論與實驗結(jié)果吻合不好的缺點.我們在有界區(qū)域上考慮時間分?jǐn)?shù)階擴散問題,在時間方向上用有限差分方法離散,空間方向上用間斷有限元方法離散,得到了一種隱式的、全離散局部間斷有限元方法.理論分析表明所得到的格式是無條件穩(wěn)定的和收斂的.相關(guān)的數(shù)值實驗結(jié)果表明,對P k次多項式,在L2和L∞范數(shù)意義下空間精度均能達到最

4、優(yōu)的k+1階收斂,時間方向2α階收斂.
　　KdV方程是一類重要的波動方程,用來描述一大類與波的傳播有關(guān)的物理現(xiàn)象.我們對時間分?jǐn)?shù)階KdV方程的全離散局部間斷有限元方法進行研究.給出了詳盡的穩(wěn)定性分析,得到了誤差估計.數(shù)值模擬說明了格式的求解效率.
　　Kawahara方程是一類重要的五階KdV方程,廣泛應(yīng)用于描述等離子體中磁聲波、冰薄層中液體的長波等不同介質(zhì)中長波的傳播問題.我們發(fā)展了全離散的局部間斷有限元方法對包含五階空

5、間導(dǎo)數(shù)的時間分?jǐn)?shù)階Kawahara方程進行研究.通過詳盡的理論分析,證明了格式是無條件穩(wěn)定的和收斂的,數(shù)值實驗結(jié)果表明格式是有效的.
　　四階問題廣泛應(yīng)用在薄梁和平板問題、應(yīng)變梯度彈性力學(xué)和混合物的相分離等問題的建模中.對時間分?jǐn)?shù)階四階問題的全離散的局部間斷有限元方法進行討論,理論分析表明格式是無條件穩(wěn)定的,相關(guān)的數(shù)值實驗結(jié)果表明,我們得到的格式達到O(hk+1+(?t)2?α)收斂,表明全離散局部間斷有限元方法求解這類問題是非常