色散介質(zhì)電磁波時(shí)域有限差分分析的通用算法構(gòu)造及其精度分析.pdf

1、色散介質(zhì)電磁波時(shí)域有限差分（FDTD）分析是近二十年來(lái)FDTD方法研究及其應(yīng)用領(lǐng)域中最為重要的進(jìn)展之一。在目前被廣泛應(yīng)用的各種算法中，遞歸卷積（RC）算法雖然占用內(nèi)存較少，但是推導(dǎo)復(fù)雜，計(jì)算精度較差。輔助微分方程（ADE）算法和Z變換算法的計(jì)算精度都較高，但需要占用大量的內(nèi)存空間，而且迭代過(guò)程繁瑣。這三類算法還存在一個(gè)共同的不足，就是不同色散介質(zhì)模型的更新方程差別很大，這也導(dǎo)致相應(yīng)的色散介質(zhì)吸收邊界條件方程通用性較差。另外，對(duì)于色散介質(zhì)

2、電磁波FDTD分析中的各種算法至今仍然缺乏比較系統(tǒng)的計(jì)算精度分析。針對(duì)上述這些關(guān)鍵問題，本文主要開展了以下7個(gè)方面的研究工作。
　　1.提出了一種適用于線性色散介質(zhì)的通用ADE算法。首先將常見線性色散介質(zhì)的介電常數(shù)統(tǒng)一表示為以jω為變量的有理分式函數(shù)形式，然后使用具有二階精度的時(shí)間差分格式對(duì)該有理分式函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式進(jìn)行離散，從而獲得電場(chǎng)強(qiáng)度的更新方程。與經(jīng)典的ADE算法和Z變換算法相比，該算法在保留ADE算法精度的的基礎(chǔ)上，降低

3、了內(nèi)存需求，提高了通用性。
　　2.基于伸展坐標(biāo)完全匹配層（SC-PML）方程和ADE算法，以電通量密度D作為輔助變量，給出了實(shí)現(xiàn)復(fù)頻移坐標(biāo)完全匹配層（CFS-PML）的D-H方程，避免了卷積完全匹配層（CPML）中復(fù)雜的卷積運(yùn)算。由于D-H方程不涉及介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系的具體形式，因此所提出的吸收邊界條件算法可以應(yīng)用于任意的電介質(zhì)，而電場(chǎng)強(qiáng)度的更新公式可以通過(guò)離散介質(zhì)的本構(gòu)方程獲得。將這一吸收邊界條件算法與所提出的色散介質(zhì)通用ADE算法

4、相結(jié)合，給出了色散介質(zhì)通用FDTD-PML方程。數(shù)值分析結(jié)果表明，與CPML和UPML相比，這一吸收邊界條件算法能夠有效地增強(qiáng)吸收效果，減少計(jì)算時(shí)間。
　　3.基于坐標(biāo)伸展技術(shù)和雙線性變換（BT），給出了適用于任意電介質(zhì)和任意FDTD空間差分格式的復(fù)頻移完全匹配層D-H方程。根據(jù)Z域方程與離散時(shí)間空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使用雙線性變換無(wú)需進(jìn)行卷積計(jì)算，可以直觀地獲得CFS-PML在FDTD中的更新方程。數(shù)值算例結(jié)果表明，與使用卷積算法實(shí)現(xiàn)

5、的CFS-PML（CPML）相比，使用雙線性變換實(shí)現(xiàn)的CFS-PML具有更好的吸收效果，計(jì)算精度更高。將吸收邊界條件的D-H方程與使用ADE算法離散色散介質(zhì)極化強(qiáng)度在時(shí)域的統(tǒng)一表達(dá)式所獲得的由電通量密度D到電場(chǎng)強(qiáng)度E的遞推方程相結(jié)合，給出了色散介質(zhì)的通用FDTD-PML算法方程，而且這種FDTD-PML算法也可以用來(lái)處理同時(shí)具有線性色散和非線性色散的介質(zhì)。
　　4.基于SC-PML方程、雙線性變換和場(chǎng)分裂技術(shù)，給出了高階PML（H

6、O-PML）的FDTD更新方程。與ADE算法相比，所提出的算法節(jié)約了內(nèi)存，簡(jiǎn)化了更新過(guò)程。數(shù)值分析結(jié)果表明，在使用相同內(nèi)存空間的情況下，與CPML和傳統(tǒng)PML相比，提出的更新方程明顯提高了吸收效果。
　　5.基于極化電流密度和極化強(qiáng)度的極點(diǎn)--留數(shù)對(duì)表達(dá)式，提出了兩種色散介質(zhì)通用的指數(shù)時(shí)間差分（ETD）算法，即極化電流密度ETD算法和極化強(qiáng)度ETD算法。與ADE算法和PLRC算法相比，這兩種ETD算法能夠減少內(nèi)存需求而且需要的運(yùn)算

7、次數(shù)較少。ETD算法的推導(dǎo)過(guò)程直接與FDTD的離散過(guò)程相對(duì)應(yīng)，不存在ADE算法在處理高階導(dǎo)數(shù)時(shí)難以選擇差分格式的問題，與PLRC和Z變換算法的推導(dǎo)過(guò)程相比也更為簡(jiǎn)潔。
　　6.基于SC-PML方程，使用ETD算法實(shí)現(xiàn)了CFS-PML。與所提出的色散介質(zhì)ETD算法相結(jié)合，構(gòu)造了色散介質(zhì)的通用 FDTD-PML算法方程。數(shù)值分析結(jié)果表明，與CPML和傳統(tǒng)PML相比，CFS-PML的ETD算法方程在使用相同內(nèi)存的情況下對(duì)吸收效果有明顯的

8、提高，并且能夠節(jié)省CPU時(shí)間，提高計(jì)算效率。
　　7.對(duì)色散介質(zhì)電磁波FDTD分析中常用的9種算法進(jìn)行了系統(tǒng)的精度分析，給出了這些算法對(duì)應(yīng)的數(shù)值相對(duì)介電常數(shù)和數(shù)值色散關(guān)系。研究結(jié)果表明，在不同的仿真中，各種算法之間精度的相對(duì)高低可能會(huì)發(fā)生變化，因此所提出的精度分析方法可以作為在仿真之前的預(yù)測(cè)工具。在對(duì)洛倫茲色散介質(zhì)進(jìn)行FDTD仿真時(shí)，諧振頻率附近的誤差遠(yuǎn)大于其他頻段的誤差。在采用經(jīng)典時(shí)間步長(zhǎng)選取原則的情況下即選取時(shí)間步長(zhǎng)為0.5-