幾類微分-積分方程的求解與預處理技術.pdf

1、在計算電磁學、流體力學、熱核反應等眾多工程領域的研究中,都面臨著對一些復雜微分方程、積分方程模型的數(shù)值計算和模擬。數(shù)值求解這些模型一般都包括前期離散處理和后期迭代求解兩個過程。對于前期離散，有限差分法、有限元法、有限體積法、譜方法等已經成為傳統(tǒng)的、最常用的工具，這些方法在計算和模擬許多實用模型時都取得了顯著的效果。然而，隨著科學技術的高度發(fā)展，對模型求解的精度、計算速度、所需內存等的要求越來越高，這使得在各種模型和邊界條件下改進、發(fā)展上

2、述各種數(shù)值方法依然是科學計算研究的重要課題。對于前期離散所得的代數(shù)方程組，特別是大型稀疏線性方程組，經典的方法之一就是Krylov子空間迭代法，此類方法以其穩(wěn)定、節(jié)省計算內存而一直受到數(shù)值代數(shù)工作者的青睞。但是，眾所周知的是，對于大型線性方程組，使用Krylov子空間方法進行迭代求解時，要求該線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣具有良好的特征值或者奇異值分布。因此,在耗費相對較少的計算時間和內存的條件下,如何有效地調節(jié)系數(shù)矩陣的特征值、奇異值，即對矩陣進

3、行預處理，就成了計算中非常重要的一環(huán)。綜合前期離散、后期迭代求解來看，構造高效、實用的數(shù)值離散方法，提出優(yōu)良的預處理子，以及設置快速、穩(wěn)定的子空間迭代方法就成了解決問題的重要要素。本文研究幾類微分、積分方程求解的數(shù)值方法和預處理技術，主要內容如下：
　　1.通過對奇異積分算子進行分裂，基于分片Lagrange基函數(shù)，對Airfoil積分方程提出了一種配置方法，從理論上分析了該方法的精度。對于離散所得的線性方程組，利用奇異算子的近似

4、逆算子，構造了系數(shù)矩陣的一個塊三對角逆預處理子。實驗顯示此預處理子在該Airfoil積分方程的非奇異項受到微小擾動時，仍然具有很好的效果。
　　2.基于二次樣條基函數(shù)，對帶有Sommerfeld邊界條件的Helmholtz方程提出了配置法，實驗顯示，此方法所導致的誤差函數(shù)及其1、2階導函數(shù)在配置點處都很接近于0。然后，通過對網格點順序的調節(jié)，將所得線性系統(tǒng)等價地化為3×3的塊狀矩陣，其對角線元素都為塊三對角矩陣，再利用階梯型矩陣，

5、提出了一種塊狀多項式近似逆預處理子。此預處理子在計算機內存和耗時方面都是比較少的，實驗顯示，相比于普通的ILU預處理子，當網格增加時，此預處理子所導致的迭代次數(shù)的增加量相對較小。
　　3.基于二次樣條基函數(shù)，對含時間分數(shù)階的子擴散方程構造了配置法，分析了該方法的精度以及所得系數(shù)矩陣的特點。相比于傳統(tǒng)的差分法，該方法擺脫了分數(shù)階β對精度的影響，達到了O(h4+τ4)的局部誤差和O(h3+τ3)的全局誤差。對于離散所得線性系統(tǒng)，基于算

6、子分裂的思想，提出了一種預處理子，實驗顯示，該預處理子在分數(shù)階β比較小時，是十分有效的。
　　4.對于用有限元方法離散Navier-Stokes方程后所得的廣義鞍點問題，利用Sherman-Morrison-Woodbury公式提出了一種分裂預處理子，理論分析和實驗顯示，此預處理子對于廣義鞍點問題和鞍點問題均具有良好的效果。
　　5.對于數(shù)值求解優(yōu)化問題、非線性偏微分方程和特征值問題時所遇到的shifted線性系統(tǒng)(A+αI