高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題講義三：零點(diǎn)問題

1、 導(dǎo)數(shù)中零點(diǎn)問題 導(dǎo)數(shù)中零點(diǎn)問題探究 探究 1已知函數(shù) ，其中 ?R． 3 2 1 1 ( ) 3 3 f x x mx x m ? ? ? ? m求函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． ( ) f x探究 探究 2已知函數(shù) 已知函數(shù) ，其中 ，其中 ， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． 3 2 1 ( ) e 2 ( 4) 2 4 3x f x x x a x a ? ? ? ? ? ? ? ?

2、? ? ? ?a?R e（1）若函數(shù) ）若函數(shù) 的圖象在 的圖象在 處的切線與直線 處的切線與直線 垂直，求 垂直，求 的值； 的值； ( ) f x 0 x ? 0 x y ? ? a（2）關(guān)于 ）關(guān)于 的不等式 的不等式 在 上恒成立，求 上恒成立，求 的取值范圍； 的取值范圍； x 4 ( ) e 3x f x ? ? ( 2) ??， a（3）討論函數(shù) ）討論函數(shù) 極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)． ( ) f x探究 探究 3已知

3、函數(shù) f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）若﹣1≤a≤0，證明：函數(shù) f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（2）若函數(shù) f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．探究 探究 4已知函數(shù) f（x）=g（x）?h（x） ，其中函數(shù) g（x）=ex，h（x）=x2+ax+a．（1）求函數(shù) g（x）在（1，g（1） ）處的切線方程；（2）當(dāng) 0＜a＜2 時(shí)，求函數(shù) f（x）在 x∈[﹣2a，a]上的最大值；.

4、 ……………………………4 分(2) 法一：由 ，得 ， 4 ( ) e 3x f x ? ? 3 2 1 4 e 2 ( 4) 2 4 e 3 3x x x x a x a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 對(duì)任意 恒成立，…………………………… 3 2 6 (3 12) 6 8 0 x x a x a ? ? ? ? ? ? ( 2) x? ??，6 分即 對(duì)任意 恒成立， ? ?3 2

5、6 3 6 12 8 x a x x x ? ? ? ? ? ( 2) x? ??，因?yàn)?，所以 2 x ? ? ? ? ?3 22 6 12 8 1 2 3 2 3x x x a x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， ……………………………8 分記 ，因?yàn)?在 上單調(diào)遞增，且 ， ? ?2 1 ( ) 2 3 g x x ? ? ? ? ? g x ( 2) ??， (2) 0 g ?所以 ，即 的取值范圍是 ． …………………

6、……………………10 0 a≥ a [0 ) ? ? ，分法二：由 ，得 ， 4 ( ) e 3x f x ? ? 3 2 1 4 e 2 ( 4) 2 4 e 3 3x x x x a x a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 在 上恒成立，……………………………6 3 2 6 (3 12) 6 8 0 x x a x a ? ? ? ? ? ? ( 2) ??，分因?yàn)?等價(jià)于 ， 3 2 6 (3 12) 6 8

7、 0 x x a x a ? ? ? ? ? ? 2 ( 2)( 4 3 4) 0 x x x a ? ? ? ? ?①當(dāng) 時(shí)， 恒成立， 0 a≥ 2 2 4 3 4 ( 2) 3 0 x x a x a ? ? ? ? ? ? ≥所以原不等式的解集為 ，滿足題 ( 2) ??，意． …………………………………………8 分②當(dāng) 時(shí)，記 ，有 ， 0 a ? 2 ( ) 4 3 4 g x x x a ? ? ? ? (2) 3 0

8、g a ? ?所以方程 必有兩個(gè)根 ，且 ， 2 4 3 4 0 x x a ? ? ? ? 1 2 , x x 1 2 2 x x ? ?原不等式等價(jià)于 ，解集為 ，與題設(shè)矛 1 2 ( 2)( )( ) 0 x x x x x ? ? ? ? 1 2 ( ) (2 ) x x ?? ? ，，盾，所以 不符合題意． 0 a ?綜合①②可知，所求 的取值范圍是 a [0 ) ? ? ，．…………………………………………10 分(3) 因

9、為由題意，可得 ， 3 2 1 ( ) e 3x f' x x x ax a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 只有一個(gè)極值點(diǎn)或有三個(gè)極值點(diǎn). ……11 分 令 ( ) f x 3 2 1 ( ) 3 g x x x ax a ? ? ? ?，①若 有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù) 的圖象必穿過 x 軸且只穿過一次， ( ) f x ( ) g x即 為單調(diào)遞增函數(shù)或者 極值同號(hào)． ( ) g x ( ) g x

10、?。┊?dāng) 為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)， 在 上恒成立，得 ( ) g x 2 ( ) 2 0 g' x x x a ? ? ? ≥ R 1 a≥．………12 分ⅱ）當(dāng) 極值同號(hào)時(shí)，設(shè) 為極值點(diǎn)，則 ， ( ) g x 1 2 , x x 1 2 ( ) ( ) 0 g x g x ? ≥由 有解，得 ，且 ， 2 ( ) 2 0 g' x x x a ? ? ? ? 1 a ? 2 1 1 2 0, x x a ? ? ? 22 2