奇數(shù)與偶數(shù)-4頁

1、奇數(shù)與偶數(shù)1．證明不存在整數(shù) d c b a , , , 滿足下列等式1619611961d abcdc abcdb abcda abcd.2．從數(shù)集 } 14 , 13 , , 2 , 1 , 0 { 中選出不同的數(shù)，填入下圖中的 10 個小圓圈內(nèi)，使得由線段相連接的兩個相鄰的小圓內(nèi)的數(shù)之差的絕對值均不相同，這是可能的嗎？請證明你的結(jié)論 .3 ． 設(shè) q p n m , , , 為 非 負 整 數(shù) ， 且 對 一 切 qpnmxxxx

2、 x ) 1 ( 1 ) 1 ( , 0 恒 成 立 ， 求q p n m 2 2 ) 2 ( 的值 .4．設(shè) x 為一個 2012 位數(shù)， y 為 x 的各位數(shù)碼重新排列后得到的數(shù)，等式個 2012 9 99 y x 有可能成立嗎？若將 2012 改變?yōu)?2011，那么結(jié)論改變嗎？5．在一個國家里，國王要建 n 個城市，并在它們之間建 1 n 條道路，使得從每個城市可通 往任何一個城市（每條道路連結(jié)兩個城市，道路不相交，也不經(jīng)過其他城

3、市） .國王要求：沿著道路網(wǎng)兩座城市之間的最短距離分別為 1 千米、 2 千米、 3 千米，?， 2) 1 (n n 千米 .試問：(1) 6 n 時，國王的要求能實現(xiàn)嗎？(2) 2012 n 時，國王的要求能實現(xiàn)嗎？6．試問：能否將 1 至 21 這 21 個整數(shù)分別填入圖中的各個圓圈內(nèi)，使得除第一行外，每個圓 圈內(nèi)的數(shù)字都等于其肩膀上兩個圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對值（亦即 | | b a c ，如下圖）7．能否把 2010 , 2010

4、 , , 4 , 4 , 3 , 3 , 2 , 2 , 1 , 1 這些數(shù)排成一行，使得兩個 1 之間夾著一個數(shù)， 兩個2 之間夾著兩個數(shù)，?，兩個 2010 之間夾著 2010 個數(shù)？證明證明你的結(jié)論 .8．假設(shè) q p, 是兩個奇整數(shù)，證明：方程 0 2 2 2 q px x 不可能有有理根 .9．設(shè)多項式 n nn n n a x a x a x a x a x f 12211 0 ) ( 的系數(shù)都是整數(shù)，并且有一個奇數(shù) 和一個

5、偶數(shù) ，使得 ) ( f 及 ) ( f 都是奇數(shù)，求證：方程 0 ) (x f 沒有整數(shù)根 .10．證明：如果存在 n 個正整數(shù) n x x x , , , 2 1 滿足 n 個方程式1 21 , , 3 , 2 , 1 21 211 12 1n nk k kx xn k x x xx x，則 n 是偶數(shù) .20．三架自動機在卡片上打印正整數(shù)對，自動機按以下方式工作：第一架自動機讀完卡片) , ( b a 后輸出新的卡片 ) 1 ,

6、1 ( b a ，第二架自動機讀完卡片 ) , ( b a 后輸出新的卡片 ) 2 , 2 ( b a（僅當 b a, 同為偶數(shù)時，它才工作） ，第三架自動機每次讀兩張卡片 ) , ( b a 和 ) , ( c b ，輸出新的卡片是 ) , ( c a ，此外，自動機能退回所有讀過的卡片 .假設(shè)有一張初始卡片 ) 19 , 5 ( ，問：能否利用任何類型的自動機得到卡片：(1) ) 50 , 1 ( ？(2) ) 100 , 1 (

7、？21．在黑板上寫有正整數(shù)： 3 , , , 3 , 2 , 1 n n ，每一次允許擦去其中任何兩個數(shù)字 q p, ，而代之以 q p 和 | | q p ，經(jīng)過這樣若干次改寫之后， 黑板上所有的數(shù)字全都變成 k .試問： k 可取哪些值？22．設(shè) r 為正整數(shù)，定義數(shù)列 } { n a 如下： 2) 1 ( 2 , 121 1 nn na a a nn .證明：每個 n a 都是正整數(shù)，并且確定對哪些 n ， n a 為偶數(shù) .23

8、．設(shè) d c b a , , , 為奇數(shù)， bc ad d c b a , 0 .證明：如果 k m b c d a m k , , 2 , 2 為正整數(shù)，那么 1 a .24．給定關(guān)于 y x, 方程組 00 22 2 b x xy ya x y ，其中 b a, 是整數(shù) .證明：如果該方程組有一組有理數(shù)解，那么這組有理數(shù)一定是整數(shù) .25．證明：如果 p 是大于 1 的整數(shù)，那么 1 3 p 不可能被 p 2 整除 .26．若干個球