2011-10-19-第1講-奇數與偶數、數的整除、余數問題(數論綜合)

1、電話：400-810-2680,第1講專題一：奇數與偶數 專題二：數的整除 專題三：余數問題,授課時間：2011年10月19日 周三,數論綜合,專題一：奇數與偶數,一 、專題知識點概述,奇數和偶數的定義：,整數可以分成奇數和偶數兩大類.能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。通常偶數可以用2k（k為整數）表示，奇數則可以用2k+1（k為整數）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數。,奇

2、數和偶數運算性質：,性質1：偶數±偶數=偶數，奇數±奇數=偶數 性質2：偶數±奇數=奇數性質3：偶數個奇數的和或差是偶數性質4：奇數個奇數的和或差是奇數性質5：偶數×奇數=偶數，奇數×奇數=奇數，偶數×偶數=偶數性質6：在加減法中偶數不改變運算結果奇偶性，奇數改變運算結果的奇偶性。性質7：對于任意2個整數a,b ,有a+b與a-b同奇或同偶性質8：奇數的平方可以

3、寫作 4k+1 ，偶數的平方可以寫作 4k,專題一：奇數與偶數,二 、重點難點解析,奇數與偶數的定義和運算性質,分類討論的思想和代數的思想,三 、競賽考點挖掘,奇數偶數的操作性問題,奇數偶數的性質與其他知識點的結合,專題一：奇數與偶數,四 、習題講解,【例1】（難度等級 ※※）,能否從、四個6，三個10，兩個14中選出5個數，使這5個數的和等于44.,【分析與解】可以把題目中的數都除以2.本題相當于：能否從、四個3，三個5，兩個7中

4、選出5個數，使這5個數的和等于22.因為3，5，7都是奇數，而且5個奇數的和還是奇數，不可能等于偶數22，所以不能.,【例2】（難度等級 ※※）,是否存在自然數a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？,【分析與解】可以分情況來討論：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。比較繁瑣，可以根據45327是一個奇數，只有奇數乘以奇數才能得到，所以a-b、b-c、a-c都為奇數，再根據奇偶性進行判斷。,專題一：奇數與

5、偶數,四 、習題講解,【例3】（難度等級 ※※※）,任意交換某個三位數的數字順序，得到一個新的三位數，原三位數與新三位數之和能否等于999？,【分析與解】不能。2個三位數的和為999，說明在兩個數相加時不產生任何進位。如果不產生進位說明兩個三位數的數字之和相加求和，就會等于和的數字之和，這是一個今后在數字謎中的常用結論。那么999的數字之和是27，而原來的2個三位數經調換數字順序后數字之和是不會變的，若以a記為其中一個三位數的

6、數字之和，那么另一個也為a，則會有2a=27的矛盾式子出現(xiàn)。說明原式不成立。,專題一：奇數與偶數,四 、習題講解,【例4】（難度等級 ※※※）,在一張9行9列的方格紙上，把每個方格所在的行數和 列數加起來，填在這個方格中，例如a=5+3=8．問：填入的81個數字中是奇數多還是偶數多?,【分析與解】此題如果按步就班地把每個格子的數算出來，再去數一數奇數和偶數各有多少．然后得出奇數和偶數哪個多，哪個少的結論．顯然花時間很多，不能在口試搶

7、答中取勝．我們應該從整體上去比較奇偶數的多少．易知奇數行偶數多一個，偶數行奇數多1個．所以前8行中奇偶數一樣，余下第9行奇數行，答案可脫口而出．偶數多,專題一：奇數與偶數,五 、課后思考,一條線段上分布著n個點，這些點的顏色不是黑的就是白的，它們將線段分為n+1段，已知線段兩端的兩個點都是黑的，而中間的每一個點的兩邊各有一黑一白.那么白點的數目是奇數還是偶數？,用代表整數的字母a、b、c、d寫成等式組：　　a×b

8、15;c×d-a=1991　　a×b×c×d-b=1993　　a×b×c×d-c=1995　　a×b×c×d-d=1997　　試說明：符合條件的整數a、b、c、d是否存在.,專題一：奇數與偶數,六 、挑戰(zhàn)自己（難度等級 ※※※※）,圓桌旁坐著2k個人，其中有k個物理學家和k個化學家，并且其中有些人總說真話，有些人則總說假話．今知物

9、理學家中說假話的人同化學家中說假話的人一樣多．又當問及：“你的右鄰是什么人”時，大家全部回答：“是化學家．”證明：k為偶數．,專題二：數的整除,一 、專題知識點概述,常見數字的整除判定方法：,1. 一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除； 一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除； 一個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8或125整除；,2. 一各位數數字和能被3整除，這個數就能比3整除；

10、 一個數各位數數字和能被9整除，這個數就能被9整除；,3. 如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除， 那么這個數能被11整除.,4. 如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整除， 那么這個數能被7、11或13整除.,專題二：數的整除,一 、專題知識點概述,整除性質：,性質1 如果數a和數b都能被數c整除，那么它們的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，

11、那么c︱(a±b)．,性質2 如果數a能被數b整除，b又能被數c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．,性質3 如果數a能被數b與數c的積整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．,性質4 如果數a能被數b整除，也能被數c整除，且數b和數c互質，那么a一定能被b與c的乘積整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4

12、∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．,專題二：數的整除,一 、專題知識點概述,整除性質：,性質5 如果數a能被數b整除，那么am也能被bm整除． 如果 b｜a，那么bm｜am（m為非0整數）；,性質6 如果數a能被數b整除，且數c能被數d整除，那么bd也能被ac整除． 如果 b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd；,專題二：數的整除,二 、重點難點解析,1.

13、常見數字的整除判定性質,2．將不具有整除判定性質的數字進行分解判定其整除性,三 、競賽考點挖掘,1.與數字謎或算式迷結合的整除判斷特性題目,2.代數式之間的整除性問題,3．代數式之間整除性的判斷，代數思想的應用,4．試除法的理解和應用,專題二：數的整除,四 、習題講解,【例1】（難度等級 ※※）,173□是個四位數字。數學老師說：“我在這個□中先后填人3個數字，所得到的3個四位數，依次可被9、11、6整除?！眴枺簲祵W老師先后填入的3個數

14、字的和是多少？,【分析與解】方法一：利用整除判定特征，逐個分析易知這三種情況下填入方格的數字和為7+8+4=19,方法二：采用試除法 （本講的重點方法）用1730試除，1730÷9=192……2，1730÷11=157……3，1730÷6=288……2．所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．所以，這三種情況下填入

15、口內的數字的和為7+8+4=19．,專題二：數的整除,四 、習題講解,【例2】（難度等級 ※※※）,某個七位數1993□□□能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數字依次是多少？,【分析與解】本題可采用整除數字的判定特征進行判斷，但是太過繁瑣。采用試除法比較方便，若使得7位數能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要讓七位數是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍數的倍數即可?！?，3，4，5，6

16、，7，8，9】=2520.用1993000試除，1993000÷2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格內填入320即可．,專題二：數的整除,四 、習題講解,【例3】（難度等級 ※※※）,由1，3，4，5，7，8這六個數字所組成的六位數中，能被11整除的最大的數是多少？,【分析與解】根據11的整除判定特征我們知道六位數的奇數位與偶數位三個數字的和的差要為11的倍數

17、，我們不妨設奇數位上的數和為a，偶數位上的數和為b，那么有a+b=1+3+4+5+7+8=28,同時有a-b=0或a-b=11或a-b=22…等情況，根據奇偶性分析自然數a與b的和為偶數，那么差也必須為偶數，但是a-b不可能為22，所以a-b=0，解得a=b=14，則容易排列出最大數875413.,專題二：數的整除,四 、習題講解,【例4】（難度等級 ※※※）,從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字中選出五個不同的數字組成一

18、個五位數，使它能被3、5、7、13整除，這個數最大是多少？,【分析與解】本題采用試除法。因為3，5，7，13的最小公倍數為1365，在100000之內最大的1365的倍數為99645(100000÷1365=73……355，100000-355=99645)，但是不符合數字各不相同的條件，于是繼續(xù)減1365依次尋找第二大，第三大的數，看是否符合即可。有99645-1365=98280，98280-1365=96915．

19、96915-1365=95550．95550-1365=94185．所以，滿足題意的5位數最大為94185．,專題二：數的整除,四 、習題講解,【例5】（難度等級 ※※※）,在下面的方框中各填一個數字，使六位數11□□11能被17和19整除，那么方框中的兩位數是多少？,【分析與解】本題采用試除法。如果一個數能同時被17和19整除，那么一定能被323整除．110011÷323=340……191，余191也可以看成不足(32

20、3-191=)132．所以當132+323n是100的倍數時，才能保證在只改動110011的千位、百位數字，而得到323的倍數．所以有323n的末位只能是10-2=8，所以n只能是6，16，26，…驗證有n=16時，132+323×16=5300，所以原題的方框中填入5，3得到的115311滿足題意．,專題二：數的整除,四 、習題講解,【例6】（難度等級 ※※※）,某個自然數既能寫成9個連續(xù)自然數的和，還同時可以寫成10個

21、連續(xù)自然數的和，也能寫成11個連續(xù)自然數的和，那么這樣的自然數最小可以是幾？,【分析與解】本題采用試除法。本題所體現(xiàn)的是一個常用小結論，即任意奇數個連續(xù)自然數的和必定是這個奇數的倍數。任意偶數個連續(xù)自然數的和必定是這個偶數的一半的倍數，并且除以這個偶數的一半后所得的商為一個奇數。證明方法很簡單，以連續(xù)9個奇數為例子：我們可以令連續(xù)9個奇數為：a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4則他們的和為9a，即為9的

22、倍數。對于連續(xù)10個自然數，可以為a-4,a-3,a-2,a-1,a,a+1,a+2,a+3,a+4，a+5則它們的和為10a+5=5（2a+1），即是5的倍數且除以5后商是奇數。所以本題中要求的數是5，9，11的最小公倍數的倍數即495的倍數，最小值即495.,專題二：數的整除,四 、習題講解,【例7】（難度等級 ※※※※）,將數字4，5，6，7，8，9各使用一次，組成一個被667整除的6位數，那么，這個6位數除以667的結果

23、是多少？,【分析與解】本題采用試除法。本題考察對數字667的特殊認識，即667×3=2001。本題要求用4，5，6，7，8，9組成一個667的倍數，其實發(fā)現(xiàn)4，5，6，7，8，9組合出的數一定是3的倍數，那么只要考慮組成一個2001的倍數即可，而2001的六位數倍數具有明顯的特征，即后三位是前三位的一半，那么我們可以發(fā)現(xiàn)前三位一定是900多的數字，后三位是400多，很容易得到956478。那么956478÷667

24、=1434。,專題二：數的整除,五 、課后思考,1.六位數20□□08能被49整除，□□中的數是多少？,2. 如果六位數1992□□能被105整除，那么它的最后兩位數是多少？,3. 有些數既能表示成3個連續(xù)自然數的和，又能表示成4個連續(xù)自然數的和，還能表示成5個連續(xù)自然數的和。請找出700到1000之間，所有滿足上述條件的自然數。,4.請求出最大的七位數，使得它能被3、5、7、11、13整除，且各位數字互不相同，這個七位數是多少？,專

25、題二：數的整除,六 、挑戰(zhàn)自己（難度等級 ※※※※）,有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號．1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被3整除”，……，依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號數整除．1號作了一一驗證：只有編號連續(xù)的兩位同學說得不對，其余同學都對．那么：(1)說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續(xù)自然數?(2)如果告訴你，1號寫的數是五位數，請求出這個數,專題三

26、：余數問題,一 、專題知識點概述,帶余除法的定義及性質：,一般地，如果a是整數，b是整數（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：(1)當 時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當 時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商,一個完美的帶余除法講解模型:如圖，這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除

27、數，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數的角色，經過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數。這個圖能夠讓學生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關系。并且可以看出余數一定要比除數小。,專題三：余數問題,一 、專題知識點概述,三大余數定理,1.余數的加法定理a與b的和除以c的余數，等于a,b分別除以c的余數之和，或這個和除以c的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以23+16=39除

28、以5的余數等于4，即兩個余數的和3+1.當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之和再除以c的余數。例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以23+19=42除以5的余數等于3+4=7除以5的余數，即2.,2.余數的乘法定理a與b的乘積除以c的余數，等于a,b分別除以c的余數的積，或者這個積除以c所得的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1，所以 除以5的余數等于 3。當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數

29、之積再除以c的余數。例如：23，19除以5的余數分別是3和4，所以 除以5的余數等于 除以5的余數，即2.,專題三：余數問題,一 、專題知識點概述,三大余數定理,3.同余定理若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：a≡b ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。由同余的性質，我們可以得到一個非常重要的推論：若兩個數a，b除以同一個數m得到的余數相同，

30、則a，b的差一定能被m整除用式子表示為：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整數，即m|(a－b),專題三：余數問題,二 、重點難點解析,1.帶余除法的定義式，4個基本量的相互關系,2.三大余數定理的應用,三 、競賽考點挖掘,1. 三大余數定理的靈活運用,2. 求某些復雜數的個位數字,專題三：余數問題,四 、習題講解,【例1】（難度等級 ※※）,一個兩位數除310，余數是37，求這樣的兩位數。,【分析與解】

31、本題為余數問題的基礎題型，需要學生明白一個重要知識點，就是把余數問題---即“不整除問題”轉化為整除問題。方法為用被除數減去余數，即得到一個除數的倍數；或者是用被除數加上一個“除數與余數的差”，也可以得到一個除數的倍數。本題中310-37=273，說明273是所求余數的倍數，而273=3×7×13，所求的兩位數約數還要滿足比37大，符合條件的有39，91.,專題三：余數問題,四 、習題講解,【例2】（難度

32、等級 ※※※）,有一個兩位整數，除39，51，147所得的余數都相同，求這個數。,【分析與解】本題考查知識點為同余定理。發(fā)現(xiàn)未知的兩位整數除39，51，147的余數都相同，但是都不知道是多少，所以無法按照例1的方法去求，那么根據同余定理，這三個被除數兩兩作差后都可以得到這個未知兩位數的倍數，即108，96，12均為所求數的倍數，即所求的數是108，96，12的公約數，在這三個數的公約數中兩位數的約束僅有12，所以所求兩位數是1

33、2.,專題三：余數問題,四 、習題講解,【例3】（難度等級 ※※※）,求 的余數,【分析與解】本題為余數乘法定理的拓展模式，即數字的乘方與一個數相除的余數情況。由6443÷19余2，求原式的余數只要求 的余數即可。但是如果用2÷19發(fā)現(xiàn)會進入一個死循環(huán)，因為這時被除數比除數小了，所以可以進行適當的調整， ，64÷19余數為7，那么求 的余數就轉化為求 的余數，

34、即49÷19的余數。49÷19余數為11，所以原式 的余數為11.,,專題三：余數問題,四 、習題講解,【例4】（難度等級 ※※※）,號碼分別為101,126,173,193的4個運動員進行乒乓球比賽,規(guī)定每兩人比賽的盤數是他們號碼的和被3除所得的余數.那么打球盤數最多的運動員打了多少盤?,【分析與解】本題可以體現(xiàn)出加法余數定理的巧用。計算101，126，173，193除以3的余數分別為2，0，2，1。那么任意

35、兩名運動員的比賽盤數只需要用2，0，2，1兩兩相加除以3即可。顯然126運動員打5盤是最多的。,專題三：余數問題,五 、課后思考,1.有一個自然數,用它分別去除63,90,130都有余數,3個余數的和是25.這3個余數中最大的一個是多少?,2.用一個自然數去除另一個自然數，商為40，余數是16.被除數、除數、商、余數的和是933，求這2個自然數各是多少？,3. 除以13所得余數