同階子群個(gè)數(shù)之集為{1,3,4}的有限群.pdf

1、本文研究同階子群個(gè)數(shù)之集合對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響.設(shè) G是一個(gè)有限群. n(G)表示群 G中所有同階子群的個(gè)數(shù)組成的集合.本文得出了當(dāng)n(G)={1,3,4}時(shí) G的所有Sylow子群的結(jié)構(gòu)，以及當(dāng)G為內(nèi)冪零群時(shí)群G的結(jié)構(gòu).主要得到了下述定理：
　　引理2.6設(shè) P是一個(gè)非交換p群, H=〈h〉是 P的循環(huán)極大子群且|H|= pn.假設(shè) H在 P中有補(bǔ)A=〈a〉，則其p階子群的個(gè)數(shù)有如下結(jié)果：
　　(1)當(dāng) p=2且 P=〈a, b

2、|a2n= b2=1, b- l ab= a-1〉時(shí)，其2階子群有2n+1個(gè)；
　　(2)當(dāng)p=2, n≥3且 P=〈a, b|a2n= b2=1, b- l ab= a-l+2"1〉時(shí),其2階子群有2n_i+1個(gè)；
　　(3)當(dāng) p=2, n≥3且 P=〈a, b|a2n= b2=1, b- l ab= al+2"1〉時(shí),其2階子群有3個(gè)；
　　(4)當(dāng) p=3且 P=〈a, b|a3n= b3=1, b- lab=

3、 al+3"-1〉時(shí),其3階子群有4個(gè).
　　定理3.1設(shè) G為有限群，且|G|=2≥3nqa i說(shuō)2…π,其中 q為大于3的素?cái)?shù), a, p為非負(fù)整數(shù), ai, n均為正整數(shù).如果n(G)={1,3,4},則a＞0,/3＞0且 G的Sylow-2子群 P2和 Sylow-3子群 P3不能都正規(guī)且具有如下性質(zhì)：
　　(a)當(dāng) P2循環(huán)時(shí)，G的 Sylow2-子群只有3個(gè)；
　　當(dāng) P2不循環(huán)時(shí)，P2＜G且具有如下結(jié)構(gòu)：

4、
　　如果 a=2,則 P2= C2 x C2；
　　如果 a=3,則 P2= C4 x C2或 P2=〈a, b|a4=1, b2= a2, b- l ab= a-1〉;
　　如果a≥4,則 P2= C2a-i x C2或 P2=〈a, b|a2a1= b2=1, b- l ab= a l+2a2〉.(b)當(dāng) P3循環(huán)時(shí)，G的 Sylow3-子群有4個(gè)；
　　當(dāng) P3不循環(huán)時(shí)，P3< G且具有如下結(jié)構(gòu)：（此處公

5、式省略）
　　或（此處公式省略）
　　(c) G的 Sylow qi-子群 Q i循環(huán)且 Q i＜G, i=1,2,…, n.
　　定理4.1若 G為內(nèi)冪零群，且n(G)={1,3,4},則 G必與下列群同構(gòu)：
　　(1) G=(a, ci, C2\a3=1, cl= c2=1, ci c2= c2 ci,C f= c2,c％= ci C2〉;
　　(2) G=(a, b, c\a3盧=1, b4=1, b