羅開基-郭碩鴻電動力學(xué)習(xí)題解

1、郭碩鴻《電動力學(xué)》習(xí)題解答 羅開基 編 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 第一章 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 1. 根據(jù)算符 的微分性與矢量性，推導(dǎo)下列公式： 根據(jù)算符 的微分性與矢量性，推導(dǎo)下列公式： ?2( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) . 2, A B B A B A A B A BA A A A A? = × ?

2、15; + ? + × ?× + ?× ?× = ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? i i? ? ? ? i? i解： 解： ( ) ( ) ( ) B A A B A B A ? = ? + ? ? ? ? ? ? ? i i B ? ? i)( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) .B B A A B A B A A B AB A B A A B A B= &#

3、215; ? × + ? + × ? × + ?= × ?× + ? + × ?× + ?? ? ? B ? ? ? ? ? ? ? ? i i ? ? ? ? ? ? ? ? i i?在上式中，令 B A =? ?，得 2 ( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) 2( ) ,A A A A A A A A AA A A A? = × ?× +

4、? + × ?× + ?= × ?× + ?? ? ? ? ? ? ? i i ? ? ? ? i?即 2 1 ( ) ( ) 2 . A A A A × ?× = ? ? ? ? ? ? i A ?2. 設(shè) 是空間坐標(biāo)設(shè) 是空間坐標(biāo) u , , x y z 的函數(shù)，證明： 的函數(shù)，證明： ( ) , ( ) , ( ) . df dA dA f u u A u u A

5、 u u du du du ? = ? ? = ? ?× = ? ×? ? ? ? i i證： 證： ( ) f f f df u df u df u df f u i j k i j k x y z du x du y du z du? ? ? ? ? ? ? = + + = + + = ? ? ? ? ? ? ? u? ? ? ? ? ?，( ) y y x z x z A dA A A u dA u u dA

6、dA A u u x y z x du y du z du d? ? ? ? ? ? ? = + + = + + = ? ? ? ? ? ? ?? ? i i u， ( ) ( ) ( ) ( )( ) (( ).y y)z x zy z xy xA A xzA A A A A u i j k y z z x x ydA u dA u u dA u dA i j y du z du z du x dudA u u dA k x du y

7、 dudA u du? ? ? ? ? ?× = ? + ? + ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? = ? + ? ? ? ? ?? ? + ? ? ?= ? ×? ? ? ? ?? ???1郭碩鴻《電動力學(xué)》習(xí)題解答 羅開基 編 第一章 電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律 [ ( )] [ ( )( ) ,V V VS SC dV f dV C f dV f Cd

8、S f C C dS f?× = ?× = ? ×= × = ×∫ ∫ ∫∫ ∫]? ? ? ? ? i i ? ? ? ? ? ? i i ? ?? i所以 . V S dV f dS f ?× = × ∫ ∫? ? ? ?又 ( ) ( S S S C dS dS C dS C) ? ? ? ×? = ? × = ?× ∫

9、 ∫ ∫ ? ? ? ? ? ? i i i( ) L L dl C C dl . ? ? = = ∫ ∫ ? ? ? ? i i ? ?所以 . S L dS dl ? ? ×? = ∫ ∫ ? ? ?注： 注： 由及 V S dV f dS f ? = ∫ ∫ ? ? ? i i ? V S dV f dS f ?× = × ∫ ∫? ? ?? ，可見 V S dV dS ? ? ∫ ∫ ?

10、? . 由 ( ) ( ) S S dS f dS f dl f ?× = ×? = ∫ ∫ ∫ ? ?L ? ? ? i i? i S L dS dl ?及 ? ? ×? = ∫ ∫ ? ?? ，可見 S L dS dl ×? ? ∫ ∫ ? ? ? . 5. 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為 已知一個電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為 ( ) ( , ) V p t x t x dV ρ ′ ′

11、′ = ∫? ? ? ， ， 利用電荷守恒定律 利用電荷守恒定律 / 0 J t ρ ? + ? ? = ? i 證明 證明 p ? 的變化率為 的變化率為 ( , ) V dp J x t dV dt ′ ′ = ∫? ? ? . 證法一： 證法一： [ ( , )] V V dp x dV J x t x dV dt tρ ? ′ ′ ′ ′ ′ = = ? ? ? ∫ ∫?′ ? ? ? ? i ， 取 x 分

12、量,得 [ ( , )][ ( ) ( ) ]( , )x V VVx S Vdp x dV J x t x dV dt tx J x J dVx J dS J x t dVρ ? ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = ? ? ?′ ′ ′ ′ ′ = ? ? ? ?′ ′ ′ = ? +∫ ∫∫∫ ∫? ? i? ? ? i i ? ? ? i ?( , ) . x V J x t dV ′ ′ = ∫ ?（注： 注：在電荷系統(tǒng)的界面上，