三類高維系統(tǒng)的分岔、混沌及控制研究

1、西南交通大學(xué)博士學(xué)位論文三類高維系統(tǒng)的分岔、混沌及控制研究姓名：鄭小武申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：博士專業(yè)：固體力學(xué)指導(dǎo)教師：謝建華2012-04第| | 頁(yè) 西南交通大學(xué)博士研究生學(xué)位論文4 ．研究了一個(gè)平面兩自由度雙擺力學(xué)模型，先根據(jù)拉格朗日方程建立了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，當(dāng)端點(diǎn)作給定運(yùn)動(dòng)情況下，利用運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的幾何邊角關(guān)系、微分關(guān)系將運(yùn)動(dòng)微分方程中的微分變量分別用端點(diǎn)的坐標(biāo)及它們的各階導(dǎo)數(shù)表示，得到系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)，并推導(dǎo)出非顯示形式的擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分

2、方程。采用漸近逼近法i 逐步確定擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程一階、二階和三階近似，最終可以得到擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程的任意階近似。這樣將原系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性與分岔的分析就轉(zhuǎn)化為對(duì)擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程n 階近似的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與分岔的分析。對(duì)于擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程來(lái)講，其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及失穩(wěn)后的分岔類型一般是由其前三階項(xiàng)確定的，即4 階及以上高階非線性項(xiàng)一般不會(huì)在本質(zhì)上影響分析其局部動(dòng)力學(xué)行為，本文最終推導(dǎo)出擾動(dòng)微分方程的六階近似，并且通過(guò)數(shù)值計(jì)算，比較了相同參

3、數(shù)下擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程6 階近似和擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程3 階近似在分岔過(guò)程上的差異，驗(yàn)證結(jié)果表明除運(yùn)算時(shí)間外兩者是一致的。5 ．介紹了線性周期系數(shù)微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性與常系數(shù)微分系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系，給出穩(wěn)定性判據(jù)。介紹了非線性周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與對(duì)應(yīng)線性周期系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的關(guān)系，給出穩(wěn)定性判據(jù)。將周期系數(shù)微分系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一系列‘= O 一1 ) x T - - ．- > i x T( f _ 1 ，?，n ) 積分可以確定n 個(gè)狀態(tài)點(diǎn)， 其在

4、P o i n c a r 6 截面( 仃= { ( 仇o ，咖o ，緲2 0 ，痧2 0 ，f ) ∈R 4 ×s i t = 丁} ) 上形成的對(duì)應(yīng)關(guān)系構(gòu)成P o i n c a r 6 映射，利用映射分岔?xiàng)l件給出了周期系數(shù)微分系統(tǒng)平衡點(diǎn)失穩(wěn)后可能發(fā)生的幾種分岔的分岔?xiàng)l件。介紹了周期系數(shù)系統(tǒng)發(fā)生H o p f 分岔的解析分析過(guò)程。最后通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)參變量進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，最終得到F l i p 分岔、非共振H o p f 分岔(

5、 弼( ‰) ≠1 ，n ≠1 , 2 ，3 ，4 ，?) 、強(qiáng)共振( 岔= l 、；t 2 = 1 ) H o p f 分岔、H o p f - F l i p 分岔等行為，從結(jié)果來(lái)看周期系數(shù)系統(tǒng)與常系數(shù)微分方程或差分方程有基本類似的分岔行為。給出了兩種不同情形的H o p f - F l i p 分岔結(jié)果：一種情形是平衡點(diǎn)失穩(wěn)后可形成穩(wěn)定2 階H o p f 圈或高階周期點(diǎn)，而另一種情形是平衡點(diǎn)一旦失穩(wěn)后不能穩(wěn)定于H o p f 圈

6、或周期n 點(diǎn)。對(duì)于強(qiáng)共振( 刀= 1 ) H o p f 分岔，是一種特殊情形，在此種情況中，隨參數(shù)不斷變化特征根在臨近一1 穿越單位圓時(shí)，4 個(gè)負(fù)實(shí)根突然分解為2 個(gè)模小于1 的負(fù)實(shí)根和一對(duì)復(fù)共軛特征根，最終是一對(duì)復(fù)特征根在很小參數(shù)區(qū)間穿越單位圓( 另2 個(gè)仍為模小于1 的負(fù)實(shí)根) ，穿越后為一對(duì)一1 根( 另2 根仍為模小于l 的負(fù)實(shí)根) ，正是由于特征根穿越單位圓周的特殊性，導(dǎo)致分岔結(jié)果的特殊性：穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)一周期2 焦點(diǎn)一穩(wěn)定的H