金融數(shù)學(xué)的研究與進(jìn)展

1、學(xué)科簡(jiǎn)介金融數(shù)學(xué)的研究與進(jìn)展Ξ張友蘭1周愛(ài)民2(1河北省科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所石家莊0500812南開(kāi)大學(xué)國(guó)際經(jīng)濟(jì)研究所天津300071)摘要投資組合選擇理論、資本資產(chǎn)定價(jià)模型、期權(quán)定價(jià)理論是金融數(shù)學(xué)中的幾個(gè)主要理論改進(jìn)和發(fā)展金融數(shù)學(xué)模型強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)據(jù)的獲取、分析與實(shí)證研究針對(duì)具體問(wèn)題探索有效的數(shù)學(xué)方法和工具是金融數(shù)學(xué)的基本發(fā)展趨勢(shì)。關(guān)鍵詞選擇理論期權(quán)定價(jià)理論金融衍生工具中圖分類(lèi)號(hào)O2911引言金融數(shù)學(xué)是最近發(fā)展起來(lái)的新興邊緣學(xué)科是數(shù)學(xué)與金融

2、學(xué)的交叉。主要運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和方法(如:隨機(jī)分析、隨機(jī)最優(yōu)控制、組合分析、非線(xiàn)性分析、多元統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃、現(xiàn)代計(jì)算方法等)對(duì)金融(除銀行功能之外還包括投資、債券、基金、股票、期貨、期權(quán)等金融工具和市場(chǎng))的理論和實(shí)踐進(jìn)行數(shù)量的分析研究。金融數(shù)學(xué)已成為發(fā)展最快的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支之一。金融數(shù)學(xué)(MathematicalFinance)這一學(xué)科名詞20世紀(jì)80年代末才出現(xiàn)。它是馬柯維茨(H.Markowitz1990年獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng))的證券

3、組合選擇理論和斯科爾斯默頓(M.Scholes2R.Merton1997年獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng))的期權(quán)定價(jià)理論這二次華爾街革命的直接產(chǎn)物。其核心問(wèn)題是不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資策略的選擇理論、定價(jià)理論以及市場(chǎng)理論套利、最優(yōu)與均衡是其中的三個(gè)主要概念。為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展世界各國(guó)金融創(chuàng)新運(yùn)動(dòng)日益加快眾多新的金融產(chǎn)品和衍生工具(如期貨、權(quán)證、掉期等)不斷涌現(xiàn)新的金融服務(wù)也層出不窮。因此金融市場(chǎng)的運(yùn)行規(guī)律、資產(chǎn)組合選擇、金融衍生工具的設(shè)計(jì)與定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)

4、分析與管理、以及相關(guān)的投資決策分析顯得空前重要這也正是金融數(shù)學(xué)研究和解決的核心問(wèn)題。實(shí)踐說(shuō)明金融理論和金融數(shù)學(xué)的發(fā)展極大地促進(jìn)了世界各國(guó)的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展。相反金融投機(jī)可以象原子彈一樣摧毀一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的經(jīng)濟(jì)。因此金融數(shù)學(xué)的研究在國(guó)內(nèi)外越來(lái)越成為熱門(mén)話(huà)題。本文簡(jiǎn)要介紹金融數(shù)學(xué)的一些主要理論和方法展望。21金融數(shù)學(xué)的幾個(gè)主要理論211選擇理論(組合投資理論)金融學(xué)從定性分析到定量分析的轉(zhuǎn)變始于馬柯維茨的證券組合投資從而使得金融理論發(fā)生了一場(chǎng)

5、革命。他首先將概率論和數(shù)學(xué)規(guī)劃成功地結(jié)合在一起把組合投資中的股票價(jià)格作為隨機(jī)變量用其均值表示收益方差表示風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)收益一定、使風(fēng)險(xiǎn)最小的組合投資問(wèn)題可歸結(jié)為求下述二次規(guī)劃的最優(yōu)解。MinXTVXs.tXTI=1XTH≥rL≤X≤P。35Vol.7No.4Jul.2004高等數(shù)學(xué)研究STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSΞ收稿日期:20030220基金項(xiàng)目:河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目課題編號(hào):695194。?19942007

6、ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.313金融數(shù)學(xué)的方法展望金融系統(tǒng)由于自身具有多因素、非線(xiàn)性、不確定性而成為復(fù)雜系統(tǒng)這便為金融數(shù)學(xué)提出了較高的要求。尤其是金融市場(chǎng)的特性:波動(dòng)性、突發(fā)事件、市場(chǎng)不完全、信息不對(duì)稱(chēng)等已成為金融數(shù)學(xué)當(dāng)前面臨的重要課題。金融市場(chǎng)上的波動(dòng)現(xiàn)象一般可歸結(jié)為隨機(jī)的問(wèn)題例如我們常常假設(shè)股票價(jià)格的波動(dòng)服從某一隨機(jī)過(guò)程象幾何布朗運(yùn)

7、動(dòng)然后進(jìn)行隨機(jī)分析。但是金融市場(chǎng)多數(shù)情況下并不滿(mǎn)足穩(wěn)定的假設(shè)時(shí)常出現(xiàn)異常的波動(dòng)。近些年來(lái)的最新研究成果自回歸條件異方差模型可以較好地派上用場(chǎng)。另外隨機(jī)最優(yōu)控制和隨機(jī)微分方程這些較晚發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)工具已在大多數(shù)金融領(lǐng)域得到應(yīng)用。突發(fā)事件是小概率事件一般的隨機(jī)分析不能解釋重大的金融震蕩。例如1987年“黑色星期一”西方的金融崩潰。分形理論可以解釋股票如何瘋長(zhǎng)和暴跌。起源于海岸線(xiàn)形狀和宇宙星系描述的分形理論是本世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。另外還

8、有突變理論和沖擊理論也在金融理論中得到應(yīng)用。不完全市場(chǎng)是指市場(chǎng)受到各種限制而不完備如不允許賣(mài)空買(mǎi)空股票等。解決這類(lèi)問(wèn)題除了Duffie的不完全市場(chǎng)的一般均衡理論之外Karatzas等人引入的鞅理論能夠很好地解決金融市場(chǎng)不完備時(shí)的衍生證券定價(jià)問(wèn)題目前國(guó)外基于鞅方法的定價(jià)理論在金融理論中占主導(dǎo)地位。信息不對(duì)稱(chēng)表現(xiàn)為經(jīng)濟(jì)人掌握的信息不一樣。信息不對(duì)稱(chēng)條件下的相互對(duì)策在數(shù)學(xué)上處理是相當(dāng)困難的。但是微分對(duì)策、重復(fù)對(duì)策、隨機(jī)對(duì)策、多人對(duì)策理論在金融

9、研究中得到深入的探索和發(fā)展有著較好的發(fā)展前程。另外智能優(yōu)化方法例如遺傳算法、模擬退火算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等為金融領(lǐng)域提供了廣泛的研究工具應(yīng)用前景廣闊。金融數(shù)學(xué)建立在金融學(xué)和數(shù)學(xué)之上而統(tǒng)計(jì)和計(jì)算機(jī)已是它須臾不可離開(kāi)的主要工具。41結(jié)束語(yǔ)在現(xiàn)代金融理論和金融實(shí)踐中數(shù)學(xué)不是萬(wàn)能的但是沒(méi)有數(shù)學(xué)是萬(wàn)萬(wàn)不能的。因而我國(guó)對(duì)金融數(shù)學(xué)的研究十分重視把“金融數(shù)學(xué)、金融工程、金融管理”列為國(guó)家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目中國(guó)人民銀行也把“金融數(shù)學(xué)研究”列為資助項(xiàng)目。我

10、們相信本世紀(jì)金融數(shù)學(xué)將會(huì)得到更深入的發(fā)展和更廣泛的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)[1]LambertonD.LaperyreB.IntroductiontoStochasticCalculusAppliedtoFinanceChapmen&Hall1996[2]KaratzasIShreveSEMethodsofMathematicalFinanceNewYk:SpringerVerlag1998[3]KnROptimalPtfolios:Stocha

11、sticModelsOptimalInvestmentRiskManagementinContinuousTime[M]WldScientificPublishing1997[4]張友蘭.風(fēng)險(xiǎn)證券組合投資分析[J]河北省科學(xué)院院報(bào)1998(3)[5]張友蘭.最優(yōu)證券組合選擇的一種線(xiàn)性解法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)199810(3)[6]周愛(ài)民.股市泡沫與有效性的同一性檢驗(yàn)[J].天津大學(xué)學(xué)報(bào)1999(1)更正本刊2004年第3期第63頁(yè)第10

12、行“關(guān)于該問(wèn)題的可測(cè)函數(shù)”應(yīng)為“關(guān)于一般二階線(xiàn)性橢圓型方程的Drichlet問(wèn)題解的先驗(yàn)估計(jì)由原先對(duì)于方程系數(shù)的較強(qiáng)限制條件改進(jìn)為系數(shù)屬于有界可測(cè)函數(shù)建立了同一先驗(yàn)估計(jì)式”。第11行“贊嘗”應(yīng)為“贊賞”。第22行第3字“了”應(yīng)為“可”。第24行第32、33字“算子”應(yīng)為“性”。第25行“Hōrmer”應(yīng)為“H?rmer”。第64頁(yè)倒數(shù)第9行“之處”應(yīng)為“之點(diǎn)得到突破”。55第7卷第4期張友蘭周愛(ài)民:金融數(shù)學(xué)的研究與進(jìn)展?19942007