實分析精講50題

1、實分析精選50題1實分析精選50題實分析精選50題第一章第一章測度論測度論1.設μυ是定義在σ?代數(shù)S上的兩個測度μ是有限的且υ對于μ是絕對連續(xù)的則存在可測集E使得XE?對于υ而言具有σ?有限測度并使得對E的任何可測子集F()Fυ或為0或為∞.證明:(ⅰ)若υ本身是一個有限測度或者σ?有限測度取E為空集即可.(ⅱ)考慮υ不是一個有限測度或者σ?有限測度的情形:引理引理:設μυ是定義在σ?代數(shù)S上的兩個測度μ是有限的且υ對于μ是絕對連續(xù)的

2、υ不是一個有限測度或者σ?有限測度.若()Eυ=∞并且對于υ而言并非一個σ?有限集則存在一個可測子集FF的任何子集G()Gυ或為0或為∞.證明:設sup()|0()GGEGαμυ=?????∪∪.但1iiME∞=??????∪∪滿足:實分析精選50題3()ii證明必存在()XR上全有限測度μ，使得nμ對于μ是絕對連續(xù)的(12...)n=證明：()inμ中0()2Xμ≤≤的測度記為nυ，重新排列，其余的記為nT，重新排列定義111()()

3、()2()nnnnnnnETEETXυμ∞∞===∑∑.可以證明()0()Xμμ?=∞對于1iiiiEEE∞==?∩∪:111111()()2()niniiiinnnninETEETXυμ∞∞∞∞∞=====??=????∑∑∪∪∪=11111()()2()niniiinnnnnETETXυ∞∞∞∞====∑∑∑∑由于二和均收斂故可交換順序.∴1iiEμ∞=??????∪=11111()()2()nininnininnETETXυ∞∞∞

4、∞====∑∑∑∑=1()iiEμ∞=∑所以μ是一個全有限測度容易驗證:nμ對于μ是絕對連續(xù)的(12...)n=()ii考慮nμ的全變差測度nμnμ仍是一個全有限測度由()i的證明存在有限測度μ，使得nμ對于μ是絕對連續(xù)的，所以nμ對于μ是絕對連續(xù)的(12...)n=.證畢.3.()i設μ是可測空間()XR上全σ?有限的測度，證明：必存在()XR上全有限測度υ，使得μ等價于υ.()ii設nμ是可測空間()XR上全σ?有限的廣義測度序列證