等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式

1、等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式,,基礎(chǔ)教育系,一、舉例,4，5，6，7，8，9，10； ⑴3，0，-3，-6，…； ⑵1/10，2/10，3/10，4/10，…；⑶,特點(diǎn)：,從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一常數(shù)。,二、等差數(shù)列的定義,一般地，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列; 這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差; 公差通常用字母 d 表

2、示。,在數(shù)列{an}中，若an+1 - an=d (n∈N*) , d 為常數(shù)，則{an}是等差數(shù)列。常數(shù) d 叫做等差數(shù)列的公差。,特例：,0，0，0，0，…a , a , a , a , …,理解：,①第二項(xiàng)起；②“同一個”③求公差d時，可以用d ＝an – an－1 ，也可以用d ＝ an+1 – an；④公差d ∈ R，當(dāng)d=0時， 數(shù)列為常數(shù)列， d>0時,數(shù)列為遞增數(shù)列， d<0時,數(shù)列為遞減數(shù)列；

3、⑤ d ＝an　 – an－1或d ＝ an+1 – an是證明或判斷等差數(shù)列的依據(jù)。,三、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：,1、公式推導(dǎo)：,歸納法：,∵{an}是等差數(shù)列，則有a2=a1+da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d……an=an-1+d=a1+(n – 1)d∴an=a1+(n – 1)d又，當(dāng)n=1時,等式成立∴ n

4、∈N*時， an=a1+(n – 1)d,疊加法：,∵{an}是等差數(shù)列，則有an－an-1＝dan-1－an-2＝dan-2－an-3＝d……a2－a1＝d∴an – a1=(n – 1)d∴an=a1+(n – 1)d,2、通項(xiàng)公式：an=a1+(n – 1)d， a1為首項(xiàng)，d為公差。3、公式變形：對任意的p、q ∈N*，在等差數(shù)列中，有ap=a1+(p – 1)daq=a1+(q – 1)d∴ ap –

5、 aq=(p – q)d∴ ap=aq+(p – q)d(其中p、q的關(guān)系可以有p>q , p=q , p<q),4、通項(xiàng)公式的應(yīng)用：①可以由首項(xiàng)和公差求出等差數(shù)列中的任意一項(xiàng)；②已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，可以確定數(shù)列的任意一項(xiàng)。,四、例題評講：,例1、判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列。⑴　1，2，4，6，8；⑵　2，4，6，8，10；⑶　0，0，0，0，0；⑷　1，2，4，7，11；,例2、⑴求等差數(shù)列8，5，2

6、，…的第20項(xiàng)。⑵－401是不是等差數(shù)列– 5， – 9， – 13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？分析：對于⑴小題，是由公式求指定項(xiàng)，為此 將a1=8,d= – 3,n=20代入，就可求出相應(yīng)的項(xiàng)。對于⑵小題，是判斷一個數(shù)是否為等差數(shù)列的項(xiàng)，可用解方程的方法。,⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng)。解：由a1=8,d=5-8=-3,n=20 ，得 a20=8+(20-1) ×(-3)= -

7、49,⑵－401是不是等差數(shù)列– 5， – 9， – 13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解： 由a1= - 5，d= - 9 - ( - 5)= - 4,得 an= - 5 - 4(n - 1) 令 - 401= - 5 - 4(n - 1)解得n=100，即 - 401是為個數(shù)列的第100項(xiàng)。說明：判斷一個數(shù)是否為等差數(shù)列的項(xiàng)，要看關(guān)于通項(xiàng)公式構(gòu)成的以n為末知數(shù)的方程有沒有正整數(shù)解。,例3、　在等

8、差數(shù)列{an}中，已知a5=10,a12=31，求首項(xiàng)a1與公差d。解：依題意得 a1+4d=10 a1+11d=31 解得：a1= - 2 , d = 3 ;即這個等差數(shù)列的首項(xiàng)是-2，公差是3。,五、課堂練習(xí)：,1、求等差數(shù)列3，7，11，…的第4項(xiàng)與第10項(xiàng)。2、求等差數(shù)列10，8，6，…的第20項(xiàng)。3、在等差數(shù)列{an}中，已知a4=10,a7=19求首項(xiàng)a1與公差d。4、在等