高中數(shù)學(xué)橢圓經(jīng)典例題詳解2

1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題例1已知橢圓已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求）求的值的值06322???mymxm分析：分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值2?c222cba??m解：解：方程變形為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得12622??myxy62?m3?m又，所以，適合故2?c2262??m5?m5?m例2已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求橢圓

2、的標(biāo)準(zhǔn)方程??03，Pba3?分析：分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程ab2a2b解：解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為x??012222????babyax由橢圓過(guò)點(diǎn)，知又，代入得，，故橢圓的方程為??03，P10922??baba3?12?b92?a1922??yx當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為y??012222????babxay由橢圓過(guò)點(diǎn)，知又，聯(lián)

3、立解得，，故橢圓的方程為??03，P10922??baba3?812?a92?b198122??xy例3的底邊的底邊，和兩邊上中線長(zhǎng)之和為兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡和頂點(diǎn)的軌的軌ABC?16?BCACABGA跡跡分析：分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解20??GBGC（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程GGAA解：解：（1）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系

4、設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由BCxBCG??yx，，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因，，有，20??GBGCGBC10?a8?c6?b故其方程為??013610022???yyx（2）設(shè)，，則①??yxA，??yxG??，??013610022??????yyx即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，??03，?A??03，B即∴點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，8?????BMPBPMPBPAPAB半長(zhǎng)軸為4，半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程：7342

5、2???b171622??yx說(shuō)明：說(shuō)明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例7已知橢圓已知橢圓，1222??yx（1）求過(guò)點(diǎn)）求過(guò)點(diǎn)且被且被平分的弦所在直線的方程；平分的弦所在直線的方程；??????2121，PP（2）求斜率為）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過(guò)）過(guò)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；引橢圓的割線，求截得的

6、弦的中點(diǎn)的軌跡方程；??12，A（4）橢圓上有兩點(diǎn)）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿(mǎn)足斜率滿(mǎn)足，PQOOPOQ21???OQOPkk求線段求線段中點(diǎn)中點(diǎn)的軌跡方程的軌跡方程PQM分析：分析：此題中四問(wèn)都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，，線段的中點(diǎn)，則??11yxM，??22yxN，MN??yxR，???????????????④，③，②，①，yyyxxxyxyx222222212

7、122222121①－②得????????0221212121??????yyyyxxxx由題意知，則上式兩端同除以，有21xx?21xx?????0221212121?????xxyyyyxx，將③④代入得⑤022121????xxyyyx（1）將，代入⑤，得，故所求直線方程為：⑥21?x21?y212121????xxyy0342???yx將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所2222??yx041662???yy0416436????