1_6354474_5.三次函數(shù)與三倍角公式結(jié)緣.

1、[中國高考數(shù)學(xué)母中國高考數(shù)學(xué)母題一千一千題](第0001號)愿與您共建真實的中國高考數(shù)學(xué)母題(楊培明:13965261699)三次函數(shù)與三倍角公式三次函數(shù)與三倍角公式結(jié)緣結(jié)緣三角三角換元法解決三次函數(shù)元法解決三次函數(shù)問題問題的高考對三次函數(shù)的考查逐漸深入利用三角換元可解決三次函數(shù)一類較深刻的問題為此構(gòu)造母題如下.[母題結(jié)題結(jié)構(gòu)]:(Ⅰ)若f(x)=4x33x則f(cosθ)=cos3θ∈[11]f(sinθ)=sin3θ∈[11](Ⅱ)

2、若f(x)=x33x則f(2cosθ)=2cos3θ∈[22]f(2sinθ)=2sin3θ∈[22](Ⅲ)若3ak2=4bf(x)=ax3bx則f(kcosθ)=cos3θ∈[||||]f(ksinθ)=sin3θ∈[||||].3bk3bk3bk3bk3bk3bk[母題解折解折]:因(Ⅰ)(Ⅱ)是(Ⅲ)的特例故只證(Ⅲ):由sin3θ=3sinθ4sin3θcos3θ=4cos3θ3cosθf(kcosθ)?=ak3cos3θbkc

3、osθ=cos3θbkcosθ=(4cos3θ3cosθ)=cos3θ∈[||||]同理可證:f(ksinθ)=34bk3bk3bk3bk3bksin3θ∈[||||].3bk3bk3bk1.求最大求最大(小)值子題類題類型Ⅰ型Ⅰ:(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇預(yù)賽試題)當(dāng)x∈[33]時函數(shù)f(x)=|x33x|的最大值為.[解析解析]:由x∈[33]可令x=3cosθ則f(x)=|27cos3θ9cosθ|=3|5cos3θ(4co

4、s3θ3cosθ)|=3|5cos3θcos3θ|≤3(5|cos3θ||cos3θ|)≤18且當(dāng)θ=0時等號成立f(x)的最大值為18.?[點評]:構(gòu)造滿足條件3ak2=4b的函數(shù)f(x)=ax3bx可得:當(dāng)x∈[|k||k|]時函數(shù)f(x)的值域為[||||]函數(shù)|f(x)|的值域為3bk3bk[0||].3bk2.不等式恒成立不等式恒成立子題類題類型Ⅱ型Ⅱ:(2008年江蘇高考試題)設(shè)函數(shù)f(x)=ax33x1(x∈R)若對于任意

5、x∈[11]都有f(x)≥0成立則實數(shù)a的值為.[解析解析]:由x∈[11]設(shè)x=cosα由4cos3α3cosα=cos3αf(x)=ax33x1=acos3α3cosα1=(a4)cos3αcos3α?1所以f(x)≥0(a4)cos3αcos3α1≥0(注意到cos3α1≥0)(a4)cos3α≥0a4=0a=4.????[點評]:利用三角換元可得:若f(x)=4x3bx2cxd且當(dāng)1≤x≤1時1≤f(x)≤1則b=d=0c=3若

6、f(x)=ax3bx23xd且當(dāng)1≤x≤1時1≤f(x)≤1則a=4b=d=0.3.函數(shù)零點函數(shù)零點問題問題子題類題類型Ⅲ型Ⅲ:(2013年清華大學(xué)數(shù)學(xué)金秋營試題)己知函數(shù)f(x)=x33x1.(Ⅰ)證明:函數(shù)f(x)有三個零點a0當(dāng)x≤2時f(x)=x33x1≤4x3x1=x10當(dāng)x≤2時f(x)=x33x1≤4x3x1=x10f(x)的零點均在(22)?內(nèi)令x=2sinθθ∈()則f(x)=08sin3θ6sinθ1=03sinθ4