多重積分的變量替換ppt

1、1,積分學(xué),多重積分的變量替換,2,討論的緣由,單積分或一重積分的變量替換(也叫換元)的根據(jù)是微積分基本定理, 其在計(jì)算和證明中的作用是巨大的. 在證明了Fubini定理之后, 它在重積分的討論中也獲得應(yīng)用.但這還是不夠的！多重積分的一般變量替換是一個(gè)十分重要、有趣題目,3,基本思路,什么樣的Rn到自身的變換是保集合的可測(cè)性的?基本例子:正則變換正則變換如何改變可測(cè)集的測(cè)度?線性變換：討論特征函數(shù)正則變換：討論特征函數(shù)非負(fù)可測(cè)

2、函數(shù)和有積分函數(shù)的積分變換公式,4,復(fù)習(xí)Rn上正則變換,定義:設(shè)??Rn是非空開(kāi)集, T? ?? Rn滿足下列條件:T在?上是單射；T在?上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(即是C1的);DT=T?在?上處處可逆(即J(T)=det(T?)恒不為零)則稱(chēng)T為?上的正則變換.結(jié)論: T(?)開(kāi)集、T-1: T(?)??也是正則變換、且,5,記號(hào)復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)矩陣,導(dǎo)數(shù)矩陣(也叫Jacobi矩陣):,6,記號(hào)復(fù)習(xí)：差分的表示,設(shè)x??, B(x,r

3、)?? (r>0),y?B(x,r).T? ??Rn 在x點(diǎn)可微, 則其中T(y), T(x), y和x都是n維列向量, |y-x|是n維歐氏范數(shù)(也叫長(zhǎng)度或距離),7,記號(hào)復(fù)習(xí)：差分矩陣表示,上頁(yè)的式子的矩陣形式：,8,記號(hào)復(fù)習(xí)：線性變換,設(shè)L: Rn?Rn為線性變換, 在取定基(通常取標(biāo)準(zhǔn)基)后, L可等同為一個(gè)n階方陣(也記為L(zhǎng)).線性變換是可微變換; 如果還是非奇異(也叫非退化的), 就是正則變換L(x)=L

4、x; L?(x)=L; J(L)=det(L)線性變換的范數(shù): ||L||=max{|Lx| : |x|=1} 導(dǎo)數(shù)的范數(shù): ||T?||E=sup{||T?(x)|| : x?E},9,正則變換是可測(cè)變換,可測(cè)變換: 把可測(cè)集映射成可測(cè)集的變換叫做可測(cè)變換正則變換是可測(cè)變換: 由正則變換把開(kāi)集映射成開(kāi)集, 再由正則變換是單射, 因此在正則變換下, 交的像等于像的交. 由任一個(gè)可測(cè)集包含在可數(shù)多個(gè)開(kāi)集的交中,并且兩者的差的測(cè)度為零

5、.因此只要能證明零測(cè)集的像還是零測(cè)集就行了步驟: (1) 在一個(gè)閉方塊中的零測(cè)集的像是零測(cè)集; (2) 一般的零測(cè)集的像是零測(cè)集,10,閉方塊中零測(cè)集的像,設(shè)?? Rn中的開(kāi)集,T為?上的C1變換. 閉方塊Q??, E?Q為零測(cè)集, 即|E|=0, 則|T(E)|=0.證明:只要證明????,|T(E)|<?就行了.記?=||T?||Q, 由微分中值不等式任取???, 由|E|=0, 存在可數(shù)多開(kāi)方塊Ck, k=1,2

6、,…,11,閉方塊中零測(cè)集的像(續(xù)),不妨設(shè) , 否則用CK?Q替代CK.取 為Ck的中心, 記Ck的邊長(zhǎng)為 , 我們有因此所以,12,零測(cè)集的像是零測(cè)集,設(shè)??Rn中的開(kāi)集,T為?上的C1變換. E??為零測(cè)集, 即|E|=0, 則|T(E)|=0.證明: ?可以表示成可數(shù)多個(gè)閉方塊的并以及上面的結(jié)論，就可以得到所要的結(jié)論.#,13,可測(cè)集的像是可測(cè)集,設(shè)??Rn中的開(kāi)集,T

7、為?上的正則變換.E??, 為可測(cè)集, 則T(E)也是可測(cè)集.證明: 由E可測(cè), 則存在可數(shù)多個(gè)開(kāi)集Gk和零測(cè)集Z, 有注意T(Gk)是開(kāi)集且就得到結(jié)論.#,14,問(wèn)題二,如果僅要求T是C1的, T還能把可測(cè)集映成可測(cè)集嗎？其他類(lèi)型的可測(cè)變換.,15,正則變換如何改變測(cè)度,基本結(jié)果：測(cè)度積分如何證明：線性變換: 此時(shí)J(T)是常數(shù)正則變換,16,線性變換測(cè)度公式,設(shè)L是Rn上的線性變換, E?Rn可測(cè). 則L(

8、E)可測(cè)且|L(E)|=|det(L)| |E|.證明步驟：只需要討論L為可逆的情形對(duì)方塊結(jié)論成立(利用線性變換的初等分解)，學(xué)生自己寫(xiě)清楚對(duì)開(kāi)集結(jié)論成立(由第一步和測(cè)度的性質(zhì))對(duì)有界可測(cè)集結(jié)論成立對(duì)一般可測(cè)集結(jié)論成立,17,線性變換測(cè)度公式(續(xù)),有界可測(cè)集：取單調(diào)遞減的開(kāi)集列Gk和零測(cè)集Z,注意|Gk|?|E|(k??), |L(Gk)|?|L(E)|(k??), 以及|L(Gk)|=|det(L)| |Gk|就

9、得到結(jié)論一般可測(cè)集: 取單調(diào)遞增有界可測(cè)集列Ek, 類(lèi)似的步驟給出結(jié)論.#,18,線性變換的兩個(gè)推論,推論1: Lebesgue測(cè)度在正交變換下是不變的；推論2: 設(shè)a>0, L=aI (位似變換,也叫伸縮變換)則|L(E)|=an|E|.,19,線性變換積分公式,設(shè)L是Rn的可逆線性變換, E? Rn可測(cè). ?是L(E)上的可積函數(shù). 則下列公式成立證明: 考慮E=Rn的情形就可以了.只要證明對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)

10、結(jié)論成立就行了, 而這正是測(cè)度公式所說(shuō)的, 惟一要注意的就是,20,正則變換的測(cè)度不等式,E為閉方塊Q??成立(證明關(guān)鍵) ? E為開(kāi)集G?? ? 任意可測(cè)集E??閉方塊Q情形的證明: 記h為Q的邊長(zhǎng). 證明的想法是對(duì)T用其導(dǎo)數(shù)(線性變換)“局部”近似. 具體方法是等分Q和利用導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性以及線性變換時(shí)的結(jié)果.,21,閉方塊測(cè)度不等式,通過(guò)把Q的各邊m等分將等分Q為N=mn個(gè)不重疊的小方塊{Qk},記Qk的中心為xk, L

11、k=T?(xk),k=1,…,N. 由可微性由微分中值定理, 得到不等式,記,22,閉方塊測(cè)度不等式(續(xù)1),由T?在Q上連續(xù), ?(?)?0 (??0). 下面估計(jì)注意其中記,23,閉方塊測(cè)度不等式(續(xù)2),由關(guān)系式可知 包含在以 為心, 以 為邊長(zhǎng)的方塊中,也就是, 在注意到,24,閉方塊測(cè)度不等式(續(xù)3),因此，

12、令m??就得到,25,開(kāi)集的測(cè)度不等式,對(duì)于開(kāi)集G??,成立測(cè)度不等式證明: 取可數(shù)多個(gè)不重疊的閉方塊QK?G,滿足 , 因此,26,有界可測(cè)集的測(cè)度不等式,對(duì)于有界可測(cè)集E??,成立測(cè)度不等式證明:由E可測(cè),取單調(diào)遞減有界開(kāi)集列Gk和零測(cè)集Z滿足由此得到由控制收斂定理,k??就得到不等式.#,27,可測(cè)集的測(cè)度不等式,對(duì)于可測(cè)集E??,成立測(cè)度不等式證明:取兩兩不相交有界可測(cè)

13、集列Ek滿足則,28,非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分不等式,設(shè)?是T(?)上的非負(fù)可測(cè)函數(shù), 則證明：上述不等式對(duì)非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)成立, 然后利用Levi單調(diào)收斂定理就可以了.#,29,非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分公式,設(shè)?是T(?)上的非負(fù)可測(cè)函數(shù), 則證明: 由積分不等式,只要證明相反的不等式成立就行了. 在?上非負(fù)可測(cè), 是V=T(?)上的正則變換, 由積分不等式,30,有積分