多重積分的變量替換ppt

1、1,積分學,多重積分的變量替換,2,討論的緣由,單積分或一重積分的變量替換(也叫換元)的根據(jù)是微積分基本定理, 其在計算和證明中的作用是巨大的. 在證明了Fubini定理之后, 它在重積分的討論中也獲得應用.但這還是不夠的！多重積分的一般變量替換是一個十分重要、有趣題目,3,基本思路,什么樣的Rn到自身的變換是保集合的可測性的?基本例子:正則變換正則變換如何改變可測集的測度?線性變換：討論特征函數(shù)正則變換：討論特征函數(shù)非負可測

2、函數(shù)和有積分函數(shù)的積分變換公式,4,復習Rn上正則變換,定義:設??Rn是非空開集, T? ?? Rn滿足下列條件:T在?上是單射；T在?上有一階連續(xù)導數(shù)(即是C1的);DT=T?在?上處處可逆(即J(T)=det(T?)恒不為零)則稱T為?上的正則變換.結論: T(?)開集、T-1: T(?)??也是正則變換、且,5,記號復習：導數(shù)矩陣,導數(shù)矩陣(也叫Jacobi矩陣):,6,記號復習：差分的表示,設x??, B(x,r

3、)?? (r>0),y?B(x,r).T? ??Rn 在x點可微, 則其中T(y), T(x), y和x都是n維列向量, |y-x|是n維歐氏范數(shù)(也叫長度或距離),7,記號復習：差分矩陣表示,上頁的式子的矩陣形式：,8,記號復習：線性變換,設L: Rn?Rn為線性變換, 在取定基(通常取標準基)后, L可等同為一個n階方陣(也記為L).線性變換是可微變換; 如果還是非奇異(也叫非退化的), 就是正則變換L(x)=L

4、x; L?(x)=L; J(L)=det(L)線性變換的范數(shù): ||L||=max{|Lx| : |x|=1} 導數(shù)的范數(shù): ||T?||E=sup{||T?(x)|| : x?E},9,正則變換是可測變換,可測變換: 把可測集映射成可測集的變換叫做可測變換正則變換是可測變換: 由正則變換把開集映射成開集, 再由正則變換是單射, 因此在正則變換下, 交的像等于像的交. 由任一個可測集包含在可數(shù)多個開集的交中,并且兩者的差的測度為零

5、.因此只要能證明零測集的像還是零測集就行了步驟: (1) 在一個閉方塊中的零測集的像是零測集; (2) 一般的零測集的像是零測集,10,閉方塊中零測集的像,設?? Rn中的開集,T為?上的C1變換. 閉方塊Q??, E?Q為零測集, 即|E|=0, 則|T(E)|=0.證明:只要證明????,|T(E)|<?就行了.記?=||T?||Q, 由微分中值不等式任取???, 由|E|=0, 存在可數(shù)多開方塊Ck, k=1,2

6、,…,11,閉方塊中零測集的像(續(xù)),不妨設 , 否則用CK?Q替代CK.取 為Ck的中心, 記Ck的邊長為 , 我們有因此所以,12,零測集的像是零測集,設??Rn中的開集,T為?上的C1變換. E??為零測集, 即|E|=0, 則|T(E)|=0.證明: ?可以表示成可數(shù)多個閉方塊的并以及上面的結論，就可以得到所要的結論.#,13,可測集的像是可測集,設??Rn中的開集,T

7、為?上的正則變換.E??, 為可測集, 則T(E)也是可測集.證明: 由E可測, 則存在可數(shù)多個開集Gk和零測集Z, 有注意T(Gk)是開集且就得到結論.#,14,問題二,如果僅要求T是C1的, T還能把可測集映成可測集嗎？其他類型的可測變換.,15,正則變換如何改變測度,基本結果：測度積分如何證明：線性變換: 此時J(T)是常數(shù)正則變換,16,線性變換測度公式,設L是Rn上的線性變換, E?Rn可測. 則L(

8、E)可測且|L(E)|=|det(L)| |E|.證明步驟：只需要討論L為可逆的情形對方塊結論成立(利用線性變換的初等分解)，學生自己寫清楚對開集結論成立(由第一步和測度的性質(zhì))對有界可測集結論成立對一般可測集結論成立,17,線性變換測度公式(續(xù)),有界可測集：取單調(diào)遞減的開集列Gk和零測集Z,注意|Gk|?|E|(k??), |L(Gk)|?|L(E)|(k??), 以及|L(Gk)|=|det(L)| |Gk|就

9、得到結論一般可測集: 取單調(diào)遞增有界可測集列Ek, 類似的步驟給出結論.#,18,線性變換的兩個推論,推論1: Lebesgue測度在正交變換下是不變的；推論2: 設a>0, L=aI (位似變換,也叫伸縮變換)則|L(E)|=an|E|.,19,線性變換積分公式,設L是Rn的可逆線性變換, E? Rn可測. ?是L(E)上的可積函數(shù). 則下列公式成立證明: 考慮E=Rn的情形就可以了.只要證明對簡單函數(shù)

10、結論成立就行了, 而這正是測度公式所說的, 惟一要注意的就是,20,正則變換的測度不等式,E為閉方塊Q??成立(證明關鍵) ? E為開集G?? ? 任意可測集E??閉方塊Q情形的證明: 記h為Q的邊長. 證明的想法是對T用其導數(shù)(線性變換)“局部”近似. 具體方法是等分Q和利用導數(shù)的連續(xù)性以及線性變換時的結果.,21,閉方塊測度不等式,通過把Q的各邊m等分將等分Q為N=mn個不重疊的小方塊{Qk},記Qk的中心為xk, L

11、k=T?(xk),k=1,…,N. 由可微性由微分中值定理, 得到不等式,記,22,閉方塊測度不等式(續(xù)1),由T?在Q上連續(xù), ?(?)?0 (??0). 下面估計注意其中記,23,閉方塊測度不等式(續(xù)2),由關系式可知 包含在以 為心, 以 為邊長的方塊中,也就是, 在注意到,24,閉方塊測度不等式(續(xù)3),因此，

12、令m??就得到,25,開集的測度不等式,對于開集G??,成立測度不等式證明: 取可數(shù)多個不重疊的閉方塊QK?G,滿足 , 因此,26,有界可測集的測度不等式,對于有界可測集E??,成立測度不等式證明:由E可測,取單調(diào)遞減有界開集列Gk和零測集Z滿足由此得到由控制收斂定理,k??就得到不等式.#,27,可測集的測度不等式,對于可測集E??,成立測度不等式證明:取兩兩不相交有界可測

13、集列Ek滿足則,28,非負可測函數(shù)的積分不等式,設?是T(?)上的非負可測函數(shù), 則證明：上述不等式對非負簡單函數(shù)成立, 然后利用Levi單調(diào)收斂定理就可以了.#,29,非負可測函數(shù)的積分公式,設?是T(?)上的非負可測函數(shù), 則證明: 由積分不等式,只要證明相反的不等式成立就行了. 在?上非負可測, 是V=T(?)上的正則變換, 由積分不等式,30,有積分