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文檔簡介
1、2.1 邏輯代數(shù)中的幾個(gè)概念2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則2.4 邏輯函數(shù)的性質(zhì)2.5 邏輯函數(shù)的化簡,第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),Fundamentals of Boolean Algebra,布爾代數(shù) Boolean algebra: 用一種數(shù)學(xué)運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)描述人的邏輯思維規(guī)律和推理過程。邏輯代數(shù) Switching algebra: 將布爾代數(shù)的一些基本前提和定
2、理應(yīng)用于繼電器的分析與描述,稱為二值布爾代數(shù),或開關(guān)代數(shù)。繼電器是當(dāng)時(shí)最常用的數(shù)字邏輯元件,繼電器的接觸狀態(tài)(打開或閉合)用 0 或 1表示。,邏輯代數(shù)是二值邏輯運(yùn)算中的基本數(shù)學(xué)工具邏輯代數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)字系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì),第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),Fundamentals of Boolean Algebra,邏輯代數(shù)是二值邏輯運(yùn)算中的基本數(shù)學(xué)工具邏輯代數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)字系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì),在現(xiàn)代邏輯分析技術(shù)中,邏輯值對應(yīng)于各種廣泛的物
3、理?xiàng)l件:電壓的高或低、燈光的明或暗、電容器的充電或放電、熔絲的斷開或接通,等等。下表給出了不同的計(jì)算機(jī)邏輯和存儲技術(shù)中表示位值的物理狀態(tài)。,不同的計(jì)算機(jī)邏輯和存儲技術(shù)中表示位值的物理狀態(tài),2.1 邏輯代數(shù)中的幾個(gè)概念,1. 邏輯狀態(tài) Logic State: 當(dāng)事物的某些特性表現(xiàn)為兩種互不相容的狀態(tài),即 ①某一時(shí)刻必出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一種狀態(tài) ②一種狀態(tài)是另一種狀態(tài)的反狀態(tài) 則用符號0、1分別表示這兩種狀態(tài)
4、,稱邏輯狀態(tài)。即:0 狀態(tài) (0-state) 和 1 狀態(tài) (1-state) 一般,0狀態(tài)——邏輯條件的假或無效, 1狀態(tài)——邏輯條件的真或有效。 (兩種狀態(tài)無大小之分),2. 邏輯變量 Logic Value :,用于表示事物狀態(tài)的邏輯狀態(tài)隨邏輯條件的變化而變化,取值“0” 或“1” 。,4. 邏輯電平 Logic Voltage:在二值邏輯電路(
5、開關(guān)電路)中,將物理器件的物理量離散為兩種電平:高電平(用 H 表示)、低電平(用 L 表示)抽象化的高、低電平忽略其物理量值的實(shí)際含義,實(shí)際上它們是代表著一定范圍的物理量。參見下頁。在高、低電平之間有一邏輯不確定區(qū),稱為“噪音區(qū)”。若電平穩(wěn)定于噪音區(qū)稱為邏輯模糊,這在邏輯電路中不允許。,3. 邏輯常量 Logic Constant : 邏輯狀態(tài)保持不變,取值“0” 或“1”。,表2-1不同工藝器件定義的邏輯電平,圖
6、2-1 脈沖的邏輯電平表示,5. 邏輯約定 Logic Assumpsit:,規(guī)定 邏輯電平(表示物理器件的輸入、輸出物理量) 與 邏輯狀態(tài)(表示物理器件的邏輯功能) 之間的 關(guān)系,即邏輯規(guī)定(約定)。這一規(guī)定過程稱為邏輯化過程。確定了邏輯規(guī)定(約定)后,各種物理量都轉(zhuǎn)化為邏輯狀態(tài)含義,因而可用邏輯變量表示,進(jìn)而就可用各種數(shù)學(xué)或邏輯方法對電子電路進(jìn)行分析和表達(dá)。一旦完成了邏輯化工作,不再考慮邏
7、輯電路輸入輸出端的實(shí)際電平值,而是假設(shè)電路直接按照邏輯信號的0和1進(jìn)行操作。 邏輯約定有兩種:正邏輯規(guī)定(約定) 和 負(fù)邏輯規(guī)定(約定),如下:,正邏輯規(guī)定(約定),負(fù)邏輯規(guī)定(約定),邏輯電路Logic Circuit: 由實(shí)現(xiàn)邏輯變量之間邏輯關(guān)系的物理器件所構(gòu)成的電路稱為邏輯電路,即二值邏輯電路。,6. 邏輯代數(shù) Logic Algebra
8、 : 用代數(shù)形式表現(xiàn)邏輯變量之間的因果關(guān)系。 用代數(shù)運(yùn)算對這些邏輯變量進(jìn)行邏輯推理。 因此,邏輯代數(shù)是一個(gè)集合:邏輯變量集、常量0和1、 “與”、“或”和“非”三種邏輯運(yùn)算。 運(yùn)算順序是:“非”最高,“與”次之,“或”最低。,7. 邏輯函數(shù) Logic Function:,輸入邏輯變量 A1,A2,… , An;輸出邏輯變量F;記為:F = f (A1,A2,… , An ),關(guān)系如下圖所示:,F = f
9、 (A1, A2, …, An)輸入變量(自變量)取值0、1;輸出變量(邏輯函數(shù)值)取值0、1.,,8. 邏輯函數(shù)的表示法 Representation:主要有四種,⑴ 真值表(窮舉法) Truth Table,真值表例,表達(dá)式例:F = A · B,⑵ 邏輯表達(dá)式 Algebraic Forms of Switching Functions,⑶ 卡諾圖 Karnaugh MAP (文氏圖 Venn Diagrams
10、),⑷ 時(shí)間圖 (信號波形圖 ) Timing,Venn圖,2.2 邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算,,,A,B,F,A,B,F,,2.3 邏輯代數(shù)的基本定理及規(guī)則,2.3.1 布爾代數(shù)的基本公理 Basic Postulates,公理是基本的假設(shè),是客觀存在,無需證明??梢杂谜嬷当眚?yàn)證等式成立,當(dāng)然等式兩邊還具有相同的卡諾圖,體現(xiàn)了表達(dá)式的多樣性。 運(yùn)算的優(yōu)先順序:括號,非,與,或。,0-1 律 0 and 1 elemen
11、ts for + and ? operators A + 0 = A A ? 1 = A A + 1 = 1 A ? 0 = 0,Commutativity of the + and · operations,交換律 A + B = B + A
12、 A ? B = B ? A,結(jié)合律 A+(B+C) = (A+B)+C A ? ( B ? C ) = ( A ? B ) ? C,Distributivity of the + and · operations分配律 A+B ? C = (A+B)?( A+C)“或”對“與”的分配 A ? (B+C
13、) = A ? B+A ? C “與”對“或”的分配,A B C,(A+B) ?(A+C),B ? C,A+BC,A+B,A+C,0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,00010001,00011111,00111111,01011111,00011111,可以用同樣的方法證明 A ? (B+C) = A ? B+ A ? C 成立。,由此證明 A+B?C = (A+
14、B)(A+C) 成立。,例:證明 分配律 A+B ? C = (A+B)?( A+C) 成立。 用真值表證明,如下:,互補(bǔ)律 Complement A + A = 1 A ? A = 0,,,可以把互補(bǔ)律看作如下命題:若 X=A,Y=A,則有 X + Y = 1 X ? Y = 0,可以證明,其逆命題也成立:若 X + Y = 1
15、 X ? Y = 0 ,則有 X=A,Y=A。,,,重疊律 Idempotency A + A = A A ? A = A,2.3.2 邏輯代數(shù)的基本定理 Fundamental Theorems,右邊 = A + 1 ? B (0—1律),例 :證明 A + A ? B = A + B ,可以用公理來證明。,,吸收律 Absorpti
16、on,A ? B + A ? B = A ( A + B )( A + B ) = A,= 左邊 證明成立,反演律 DeMorgan’s Theorem (摩根定理),= 1 (0—1律),= 0 ? B + 0 ? A (互補(bǔ)律),= 0 + 0
17、 (0—1律),= 0 (基本運(yùn)算),或運(yùn)算結(jié)果的非,相當(dāng)于各變量非的與運(yùn)算。與運(yùn)算結(jié)果的非,相當(dāng)于各變量非的或運(yùn)算。摩根定理證明了變量進(jìn)行“與”和“或”運(yùn)算時(shí)的互補(bǔ)效應(yīng)。摩根定理的作用:進(jìn)行邏輯函數(shù)化簡和邏輯變換。,N變量的摩根定理:,(此定理證明見代入規(guī)則。),包含律 Consensus (也稱多余項(xiàng)定理),= 右邊
18、 證明成立,若對兩個(gè)邏輯表達(dá)式,其邏輯變量的各種相同取值組合對應(yīng)的表達(dá)式值都相同,則稱這兩個(gè)邏輯表達(dá)式相等。 f (A,B,C) = g (A,B,C),2.3.3 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 Basic Formulas,1. 邏輯相等:,A B C,g (A,B,C) = (A+B) ? (A+C),f (A,B,C) = A+B ? C,0 0
19、0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1,00011111,,,,,,,00011111,2. 代入規(guī)則:,又∵ 邏輯函數(shù) h 取值也是僅有 0 或 1,已知 f ( x1 , x2 , … , xi , …, xn ) = g ( x1 , x2 , … , xi , …, xn ),有任意邏輯函數(shù) h ,令: xi = h,則 f ( x1 , x2 , …, h , …
20、, xn ) = g ( x1 , x2 , … ,h , …, xn ) 依然成立。,證明: ∵ xi 取值(只有) 0 或 1,使等式成立,∴ 代入規(guī)則成立。,令 X = A2 + Y 代入,令 Y = A3 + Z 代入,依次類推,則推出 N 變量的摩根定理。,證明N變量的摩根定理:,用代入規(guī)則證明N變量的摩根定理,如下:,N變量的摩根定理:,3. 反演規(guī)則(香農(nóng)定理)
21、 Shannon’s expansion theorem,摩根定理給出了求反函數(shù)(互補(bǔ)函數(shù))的方法,但并未能對互補(bǔ)函數(shù)之間的關(guān)系作出完善的說明。對此,香農(nóng)定理作了推廣。,A1 + A2 + … + An = A1 ? A2 ? … ? An,,,,,A1 ? A2 ? … ? An = A1 + A2 + … + An,,,,,摩根定理的應(yīng)用:,這是反演律和代入規(guī)則的推廣使用,是對互補(bǔ)
22、函數(shù)的完善說明。,如應(yīng)用反演律及代入規(guī)則解上例,可得:,反演規(guī)則(香農(nóng)定理) Shannon‘s expansion theorem,*注意運(yùn)算的先后順序保持不變,必要時(shí)要加括號以保證運(yùn) 算 順序不變,,反演律 (摩根定理),0-1 律 (a) A + 0 = A (b) A ? 1 = A (a)
23、 A + 1 = 1 (b) A ? 0 = 0,分配律 (a) A+B ? C = (A+B)?( A+C) (b) A ? (B+C) = A ? B+A ? C,……,4. 對偶規(guī)則 Dual expansion theorem,例如前述的各種所有公理和由其導(dǎo)出的定理,其對偶式都成立:,……,已知原函數(shù)
24、 f ( x1 , x2 , …, xn, 0 , 1, +, · ),則對偶函數(shù) f ' ( x1 , x2 , …, xn , 0 , 1, +, · ) = f ( x1 , x2 , … , xn , 1 , 0, ·, + ) (“非”號不變),對偶規(guī)則:1. (f ' ) ' = f,2. 若 f1
25、= f2 ,則 f1 ' = f2 ',3. 若 f ' = f ,則稱 f 為自對偶函數(shù)。 比如 f =A,f = A 等。,,,對偶規(guī)則 Dual expansion theorem,1 ? 1 = 1 1 + 1 = 1 0 + 0 = 00 ? 1 = 0 0 + 1 = 0 1 + 0
26、 = 11 ? 0 = 0 1 + 0 = 0 0 + 1 = 10 ? 0 = 0 0 + 0 = 0 1 + 1 = 1,對任何兩相等的邏輯函數(shù),均符合上述的3個(gè)基本對偶規(guī)則。原因在于對偶規(guī)則的獲得,一方面是由于邏輯運(yùn)算本身定義所具有的對偶性,另一方面,是應(yīng)用反演規(guī)則和代入規(guī)則的結(jié)果。,非運(yùn)算 1 = 0 0 =
27、 1,,,,,,,,,,,,,,,與運(yùn)算 與運(yùn)算的對偶式 = 或運(yùn)算,,,,,0-1 律 :變量不變 A ? 1 = A A + 1 = A A + 0 = A A ? 0 = 0 A + 0 = 0 A + 1 = 1,,,,,,,,,從一個(gè)邏輯函數(shù)變換為它的對偶函
28、數(shù)叫做對偶變換。與和或、同或和異或是對偶的運(yùn)算, “ 0 ”和“ 1 ”是對偶的常量。 運(yùn)算符和邏輯量總是成對地定義的,稱為對偶的運(yùn)算符和對偶的邏輯量,這種特殊屬性可用對偶變換來表述。,對偶變換的規(guī)則是: 變量不變; 常量“0”變“1”,“1”變0”; 運(yùn)算符“與”變“或”,“或”變“與”,“同或”變“異或”,異或”變“同或”; 2個(gè)或2個(gè)以上變量非號照
29、寫。,掌握對偶規(guī)則的主要目的:當(dāng)證明了某一等式相等后,便可根據(jù)對偶規(guī)則得到其對偶式的等式,這就使要證明的式子數(shù)目減少一半。,2.4 邏輯函數(shù)的性質(zhì),2.4.1 復(fù)合邏輯與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算組合起來可以實(shí)現(xiàn)任何邏輯函數(shù)。與門、或門、非門三種基本邏輯運(yùn)算(門)組合起來可以構(gòu)成實(shí)現(xiàn)任何邏輯功能的邏輯電路,稱此三門構(gòu)成了一個(gè)邏輯完備組若實(shí)現(xiàn)一個(gè)較復(fù)雜的邏輯功能,尤其在大規(guī)模集成電路快速發(fā)展的今天,必須增加門電路的功能,以簡化電路
30、。,1. 與非邏輯(NAND) 邏輯表達(dá)式為: F = A · B · C,,與非邏輯真值表 與非門的邏輯符號,可以用與非門實(shí)現(xiàn)三種基本運(yùn)算:,① 與運(yùn)算 F1 = A·B,2. 或非邏輯(NOR) 邏輯表達(dá)式為: F = A + B + C,,或非邏輯真值表 或非門的邏輯符號,可以用
31、或非門實(shí)現(xiàn)三種基本運(yùn)算:,② 或運(yùn)算 F2 = A+B,3. 與或非邏輯(AOI-AND-OR-INVERT) 邏輯表達(dá)式為: F = AB + CD +EF,,與或非門的邏輯符號,4. 異或邏輯(XOR) 邏輯表達(dá)式為: F = A⊕B = A · B +A · B,,異或邏輯真值表 異或門的邏輯符號,,5. 同或邏輯(XNO
32、R) 邏輯表達(dá)式為: F = A⊙B = A · B +A · B,,同或邏輯真值表 同或門的邏輯符號,,異或運(yùn)算與同或運(yùn)算的關(guān)系:一對互補(bǔ)運(yùn)算,1. A⊕B = A⊙B A⊙B = A⊕B 2. (A⊕B) ' = A⊙B (A⊙B) ' = A⊕B 3.
33、 A⊕B ⊕C = A⊙B ⊙C,例:證明 A⊕B = A B +A B = A B A B = ( A + B )( A + B) = A B + A B = A
34、⊙ B,證明 A⊕B ⊕C = A ( B⊕C ) + A ( B ⊕C ) = A ( B⊕C ) + A ( B ⊙ C ) = A ( B C + BC ) + A ( B C + BC ) = A B C + A B C + A B C + ABC,A ⊙
35、 B ⊙ C = A ( B ⊙ C ) + A ( B ⊙ C ) = A ( B⊕C ) + A ( B ⊙ C ) = A ( B C + BC ) + A ( B C + BC ) = A B C + A B C + A B C + ABC
36、 = A⊕B ⊕C,,,,,,,,,,,,,,,所以:當(dāng)變量為2時(shí),同或運(yùn)算與異或運(yùn)算的之間具有互補(bǔ)關(guān)系;當(dāng)變量為3時(shí),同或運(yùn)算與異或運(yùn)算的之間具有相等關(guān)系。,由代入規(guī)則可以證明:,A1⊕A2⊕A3⊕ … ⊕An = A1⊙A2⊙A3⊙ … ⊙An n 為偶數(shù)A1⊕A2⊕A3⊕ … ⊕An = A1⊙A2⊙A3⊙ … ⊙An n 為奇數(shù),,當(dāng)變量為偶數(shù)時(shí),同或運(yùn)算與異或運(yùn)算之間具有互補(bǔ)關(guān)系;
37、當(dāng)變量為奇數(shù)時(shí),同或運(yùn)算與異或運(yùn)算之間具有相等關(guān)系。即:,異或運(yùn)算和同或運(yùn)算的基本代數(shù)性質(zhì),0—1律 (a) A⊕0 =A A⊕1 =A (b) A⊙0 =A A⊙1 =A交換律 (a) A⊕B =B⊕A (b) A⊙B =B⊙A分配律 (a) A(B⊕C) =AB⊕AC (b) A+(
38、B⊙C) =(A+B)⊙(A+C)結(jié)合律 (a) A⊕(B⊕C) = (A⊕B)⊕C (b) A⊙(B⊙C) =(A ⊙B )⊙C調(diào)換律 (a)若 A⊕B = C則 A⊕C = B , C⊕B = A (b) 若A⊙B = C則 A⊙C = B , C⊙B = A,,,依照邏輯運(yùn)算的規(guī)則,一個(gè)邏輯命題可以用多種形式的邏輯函數(shù)來描述,而這些邏輯函數(shù)的真值表都是相同的。,2
39、.4.2 邏輯函數(shù)的基本表達(dá)式 Algebraic Forms of Switching Functions,= ‥‥‥,如: F = A⊕B,2.4.3 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式 Canonical Forms of Switching Functions,一個(gè)邏輯命題的三種表示法:真值表
40、 表達(dá)式 卡諾圖,三者之間的關(guān)系:①真值表是邏輯函數(shù)最基本的表達(dá)方式,具有唯一性;②由真值表可以導(dǎo)出邏輯表達(dá)式和卡諾圖;③由真值表導(dǎo)出邏輯表達(dá)式的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式: 最小項(xiàng)之和 The canonical SOP(the Sum Of Products) 最大項(xiàng)之
41、積 The canonical POS(Product Of Sums),1. 最小項(xiàng) minterm,設(shè)有 n 個(gè)變量,它們組成的與項(xiàng)中每個(gè)變量或以原變量或以反變量形式出現(xiàn)一次,且僅出現(xiàn)一次,此與項(xiàng)稱之為 n 個(gè)變量的最小項(xiàng)。對于 n 個(gè)變量就可構(gòu)成 2n個(gè)最小項(xiàng),分別記為 mi 。其中:下標(biāo)值 i的取值為當(dāng)各個(gè)最小項(xiàng)變量按一定順序排好后,用 1 代替其中的原變量, 0 代替其中的反變量,便得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù),該二進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制
42、即為 i 的值。,2. 最大項(xiàng) maxterm,設(shè)有 n 個(gè)邏輯變量,它們組成的或項(xiàng)中,每個(gè)變量或以原變量形式或以反變量形式出現(xiàn)一次,且僅出現(xiàn)一次,此或項(xiàng)稱為 n 變量的最大項(xiàng)。對于 n 個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最大項(xiàng),分別記為 Mi 。其中:下標(biāo)值 i的取值規(guī)則與最小項(xiàng)中 i的取值規(guī)則相反,即將各變量按一定次序排好后,用 0 代替其中的原變量,用 1 代替其中的反變量,得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù),該二進(jìn)制數(shù)的等值十進(jìn)制即為 i 的值。,3. 最
43、小項(xiàng)與最大項(xiàng)的性質(zhì),例:一個(gè)三變量函數(shù) F(A,B,C),它的真值表及其最小項(xiàng)及最大項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系如下表。,,,,最小項(xiàng)與最大項(xiàng)具有如下性質(zhì):,⑴ 對于任意最小項(xiàng),只有一組變量組合的取值可使其值為1;對于任意最大項(xiàng),只有一組變量組合的取值可使其值為0。,⑶ 任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積必為0,即: mi· mj = 0(i≠j) 任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和必為1,即: Mi+Mj=1(i≠j),⑵ n變量的所有最小項(xiàng)之和必為
44、1,記為: n變量的所有最大項(xiàng)之積必為0,記為:,由上表可知,最小項(xiàng)與最大項(xiàng)具有如下性質(zhì),⑷ 同變量數(shù)下標(biāo)相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)互為反函數(shù) 即: m i = M i M i = m i 則: m i ? M i = 0 且 m i+M i = 1,4. 函數(shù)的最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式,邏輯函數(shù)被表達(dá)成一系列乘積項(xiàng)之和,則稱之為積之和表達(dá)式(SOP
45、),或稱為與或表達(dá)式。如果構(gòu)成函數(shù)的積之和表達(dá)式中每一個(gè)乘積項(xiàng)(與項(xiàng))均為最小項(xiàng)時(shí),則這種表達(dá)式稱之為最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式(The canonical SOP),且這種表示是唯一的。,邏輯代數(shù)表達(dá)式-與或式的常用概念:與項(xiàng):一個(gè)或一個(gè)以上的因子(變量)用與運(yùn)算符號連接起來的 式子。如,AB,AC等。標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)(最小項(xiàng)):包含所討論問題中的每一個(gè)變量,該變量在最小項(xiàng)中不是原變量就是反變量。如4變量函數(shù)中,ABCD,ABCD。與或式(S
46、OP):一個(gè)或一個(gè)以上的與項(xiàng)用或運(yùn)算符號連接起來的式子。如,AB+AB,ABC+AD+C。標(biāo)準(zhǔn)和(標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)和,標(biāo)準(zhǔn)與或式):僅是一個(gè)與或表達(dá)式,該式中所有的與項(xiàng)都是標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)(最小項(xiàng))。最簡與或式:具有最少與項(xiàng)的與或式。如:ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=AB+AB+ABC =AB+AB+AC
47、 =AB+AB+BC,邏輯代數(shù)表達(dá)式-與或式的常用概念:與項(xiàng):一個(gè)或一個(gè)以上的因子用與運(yùn)算符號連接起來的 式子。如,AB,AC等。標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)(最小項(xiàng)):包含所討論問題中的每一個(gè)變量,該變量在最小項(xiàng)中不是原變量就是反變量。如4變量函數(shù)中,ABCD,ABCD。與或式(SOP):一個(gè)或一個(gè)以上的與項(xiàng)用或運(yùn)算符號連接起來的式子。如,AB+AB,ABC+AD
48、+C。標(biāo)準(zhǔn)和(標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)和,標(biāo)準(zhǔn)與或式):僅是一個(gè)與或表達(dá)式,該式中所有的與項(xiàng)都是標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)(最小項(xiàng))。最簡與或式:具有最少與項(xiàng)的與或式。如:ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=AB+AB+ABC =AB+AB+AC =AB
49、+AB+BC,邏輯代數(shù)表達(dá)式-與或式的常用概念:與項(xiàng):一個(gè)或一個(gè)以上的因子用與運(yùn)算符號連接起來的 式子。如,AB,AC等。標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)(最小項(xiàng)):包含所討論問題中的每一個(gè)變量,該變量在最小項(xiàng)中不是原變量就是反變量。如4變量函數(shù)中,ABCD,ABCD。與或式(SOP):一個(gè)或一個(gè)以上的與項(xiàng)用或運(yùn)算符號連接起來的式子。如,AB+AB,ABC+AD+C。標(biāo)準(zhǔn)和(標(biāo)準(zhǔn)與項(xiàng)和,標(biāo)準(zhǔn)與或式):僅是一個(gè)與或表達(dá)式,該式中所有的與項(xiàng)都是標(biāo)
50、準(zhǔn)與項(xiàng)(最小項(xiàng))。最簡與或式:具有最少與項(xiàng)的與或式。如:ABC+ABC+ABC+ABC+ABC=AB+AB+ABC =AB+AB+AC =AB+AB+BC,寫出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式的方法:,① 如果給定的函數(shù)為一般的與或表達(dá)式
51、,可以反復(fù)應(yīng)用公式X=X ( Y+Y ) 代入缺少某變量(Y)的與項(xiàng)中,形成最小項(xiàng)之和的形式。,,② 如果給定函數(shù)用真值表表示,顯然真值表每一行變量,的組合對應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)。如果對應(yīng)該行的函數(shù)值為 1 ,則函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中應(yīng)包含該行對應(yīng)的最小項(xiàng);如果該行的函數(shù)值為 0,則函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中不包含對應(yīng)該行的最小項(xiàng)。,例:對應(yīng)前表(向前翻四頁,P39 表2.6 )中的(A,B,C), 其最小項(xiàng)表達(dá)式應(yīng)為:
52、,F(A,B,C) = m0+ m3 + m4 + m6 + m7 = ∑ m3( 0,3,4,6,7 ),顯然 F(A,B,C) = m1+ m2 + m5 = ∑ m3( 1,2,5 ),,F(A,B,C) = m0+ m3 + m4 + m6 + m7
53、 = ∑ m3( 0,3,4,6,7 ),,,,從真值表的角度看,其含義為:F=1,如果A=0,B=0,C=0 或 A=0,B=1,C=1 或A=1,B=0,C=0 或 A=1,B=1,C=0 或 A=1,B=1,C=1。相當(dāng)于F=1,如果A=1,B=1,C=1 或 A=1,B=1,C=1 或A=1,B=1,C=1 或
54、 A=1,B=1,C=1 或 A=1,B=1,C=1。因此F=1,如果A B C=1 或 A B C=1 或 A B C=1 或 A B C=1 或A B C=1得到F的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式:,F(A,B,C) = m0+ m3 + m4 + m6 + m7 = ∑ m3( 0,3,4,6,7 ),,,,*③ 如果給定函數(shù)用卡諾圖表示,則卡諾圖上的每一塊區(qū),域?qū)?yīng)一個(gè)最小項(xiàng)。如果對應(yīng)該區(qū)域的函數(shù)值為 1
55、 ,則函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中應(yīng)包含該區(qū)域?qū)?yīng)的最小項(xiàng);如果該區(qū)域的函數(shù)值為 0,則函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式中不包含對應(yīng)該區(qū)域的最小項(xiàng)。,最小項(xiàng)與原函數(shù)、反函數(shù)的關(guān)系,對于 n 個(gè)變量的函數(shù) F ,它共有2n個(gè)最小項(xiàng),這些最小項(xiàng)不是包含在原函數(shù) F 的最小項(xiàng)表達(dá)式中,就是包含在反函數(shù) F 的最小項(xiàng)表達(dá)式中。 用邏輯代數(shù)可以證明:,,F(x1,x2,x3, …,xn) + F(x1,x2,x3, …,xn) =,,例如前例的函數(shù) F
56、 :,F(A,B,C) = m0+ m3 + m4 + m6 + m7 = ∑ m3( 0,3,4,6,7 ),F(A,B,C) = m1+ m2 + m5 = ∑ m3( 1,2,5 ),5. 函數(shù)的最大項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式,邏輯函數(shù)被表達(dá)成一系列和項(xiàng)之積,則稱為和之積表達(dá)式(POS),或稱為或與表達(dá)式。 如果構(gòu)成函數(shù)的或與表達(dá)式中的每一個(gè)和項(xiàng)均為最大項(xiàng),則這種表達(dá)式稱為最大項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式 ( The Canonical POS),
57、且這種表示是唯一的。,或項(xiàng):一個(gè)或一個(gè)以上的因子用或運(yùn)算符號連接起來的 式子。如,A+B,A+C+D等。標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)(最大項(xiàng)):包含所討論問題中的每一個(gè)變量,該變量在最大項(xiàng)中不是原變量就是反變量。如對4變量函數(shù)中,A+B+C+D,A+B+C+D。或與式(POS):一個(gè)或一個(gè)以上的或項(xiàng)用或運(yùn)算符號連接起來的式子。如,(A+B)(A+C),(A+B+C+D)(A+C)。標(biāo)準(zhǔn)與(標(biāo)準(zhǔn)或與項(xiàng),標(biāo)準(zhǔn)或與式):僅是一個(gè)或與表達(dá)式,該式中
58、所有的或項(xiàng)都是標(biāo)準(zhǔn)或項(xiàng)(最大項(xiàng))。最簡或與式:具有最少或項(xiàng)的或與式。如:(A+B+C)(A+C)(A+B+C)(A+C+D)=(A+C)(A+D)(B+C),邏輯代數(shù)表達(dá)式-或與式的常用概念:,寫出邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式的方法:,① 如果給定的函數(shù)是一般的或與表達(dá)式,可以反復(fù)應(yīng)用公式:X = X + Y·Y = (X +Y)(X +Y) 代入缺少某變量(Y)的和項(xiàng)中以形成最大項(xiàng)之積的形式。,②如果給定函數(shù)用真值表表示,顯
59、然真值表每一行變量的,組合對應(yīng)一個(gè)最大項(xiàng)。如果對應(yīng)該行的函數(shù)值為 0 ,則函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式中應(yīng)包含該行對應(yīng)的最大項(xiàng);如果該行的函數(shù)值為 1 ,則函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式中不包含對應(yīng)該行的最大項(xiàng)。,例:對應(yīng)前表(向前翻八頁,P39 表2.6)中的F(A,B,C),其最大項(xiàng)表達(dá)式應(yīng)為:,F(A,B,C) = M1 · M2 · M5 = ∏ M3( 1,2,5 ),,,,從真值表的角度看,
60、其含義為:F=0,如果A=0,B=0,C=1 且 A=0,B=1,C=0 且 A=1,B=0,C=1 。 相當(dāng)于F=0,如果A=0,B=0,C=0 且 A=0,B=0,C=0 或A=0,B=0,C=0 。 因此F=0,如果A+ B+ C=0 且 A +B +C=0 且 A +B +C=0 。得到 F 的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式:,,,,F(A,B,C) = M1 &
61、#183; M2 · M5 = ∏ M3( 1,2,5 ),,,,*③ 如果給定函數(shù)用卡諾圖表示,則函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式,可以通過卡諾圖得到。,從最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的關(guān)系看:,F(A,B,C) = m1+ m2 + m5 = M1 · M2 · M5 = ∏ M3( 1,2,5 ),F(A,B,C) = m0+ m3 + m4 + m6 + m7
62、 = M0 · M3 · M4 · M6 · M7 = ∏ M3( 0,3,4,6,7 ),F(A,B,C) = m0+ m3 + m4 + m6 + m7= ∑ m3( 0,3,4,6,7 ),F(A,B,C) = m1+ m2 + m5 = ∑ m3( 1,2,5 ),,,最大項(xiàng)與原函數(shù)、反函數(shù)的關(guān)系,對于 n 個(gè)變量的函數(shù) F ,它共有2n個(gè)最大項(xiàng),這些最大項(xiàng)不是包含在原函數(shù) F
63、的最大項(xiàng)表達(dá)式中,就是包含在反函數(shù) F 的最大項(xiàng)表達(dá)式中??梢宰C明:,F(x1,x2,x3, …,xn) ? F(x1,x2,x3, …,xn) =,,同一函數(shù)的最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式與其最大項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)式的關(guān)系:,同一邏輯函數(shù)的一種標(biāo)準(zhǔn)式變換成另一種標(biāo)準(zhǔn)式時(shí),互換∑mn 和 ∏Mn 的符號,并在符號后列出原式中缺少的那些數(shù)字。而且這兩種標(biāo)準(zhǔn)式都是唯一的。例: F = ∑m3( 0,2,3 ) = ∏M 3( 1,4,5,6,7 ),,,,F(A,
64、B,C) = m0+ m3 + m4 + m6 + m7 = ∑ m3( 0,3,4,6,7 )F(A,B,C) = M1 · M2 · M5 = ∏ M3( 1,2,5 ),,回到剛才的例子:,2.5 邏輯函數(shù)的化簡 Simplification of Switching Expression,一個(gè)邏輯函數(shù)對應(yīng)著一個(gè)實(shí)現(xiàn)其邏輯功能的邏輯電路,當(dāng)使該函數(shù)最簡意味著使這個(gè)電路也最簡。,最簡邏輯電路
65、:門數(shù)最少;門的輸入端最少;門的級 數(shù)最少。最簡與或式:與項(xiàng)的數(shù)目最少;每個(gè)與項(xiàng)的變量個(gè)數(shù) 最少。最簡或與式:或項(xiàng)的數(shù)目最少;每個(gè)或項(xiàng)的變量個(gè)數(shù) 最少。,例: F = AB ( B+C ) + AC + BC = AB +C對應(yīng)兩種邏輯電路圖,如下,2.5.1 代數(shù)化
66、簡法:,一、與或式的化簡,所謂化簡過程就是運(yùn)用代入規(guī)則,把某一子函數(shù)看成一個(gè)變量,進(jìn)而應(yīng)用公式簡化,在這一過程中經(jīng)常需要變換子函數(shù)的形式,以便能夠應(yīng)用公式進(jìn)行簡化,最終將函數(shù)化簡為最簡與或式 (minimizing SOP) ,常用的方法有如下幾種:,1. 吸收法 ① 利用公式:A+AB=A 消去多余變量。例: F= AB+AB · (C+D) · E = AB,② 利
67、用公式: A + AB = A + B 消去反變量。例: F = AB + AC + BC = AB + (A + B)C = AB + AB C = AB + C,3. 消去法利用公式:AB+AC+BC=AB +AC 消去多余項(xiàng)。 例:F = AC + ADE + CD = AC + CD + AD + AD
68、E = AC + CD,2. 合并項(xiàng)法 利用公式: AB + AB = B ,兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)且消去一個(gè)變量。例: F = ∑m4 (5,7,13,15) = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD = ABD + ABD = BD,,,,,,① 利用公式: 1 =A +A 增加項(xiàng)數(shù)。例:
69、 F = AB + BC + BC + AB = AB + BC + BC(A+A) + AB(C+C) = AB + BC + ABC + ABC + ABC + ABC = AB + BC + AC思考:分析對前兩項(xiàng)增加與項(xiàng),得到的結(jié)果(F= AB + BC + AC )與上式等價(jià)。,4. 配項(xiàng)法,當(dāng)無法發(fā)現(xiàn)直接應(yīng)用公式時(shí),可先增加一些與項(xiàng),再利用增加項(xiàng)消除多余項(xiàng),
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