哈工大matlab講義第三講

1、2024/3/31,哈爾濱工業(yè)大學(xué)動力工程控制與仿真研究所,,目錄,1 矩陣分析2 數(shù)據(jù)分析函數(shù)3 多項式處理4 曲線擬和與插值5 數(shù)據(jù)分析6 微分方程數(shù)值解,,,,,,,,退出,主菜單,>,<,2024/3/31,1 矩陣分析,一、特征值分解對于方陣a特征值問題：ax=rx，求取a陣的特征值和特征向量使用下面的方法：[v,d]=eig(a)使用 [v,d]=eig(a,’nobalan

2、ce’)“平衡” 的作用減少計算誤差，不平衡用于A陣大小懸殊的時候。廣義特征值問題：ax=rbx，求解的方式為：[v,d]=eig(a,b),2024/3/31,二、三角分解,三角分解把矩陣分解為上三角矩陣和下三角矩陣，又稱為LU分解或者。計算中使用高斯變量消去法。這一分解使用[l,u]=lu(a)實現(xiàn)。,2024/3/31,三、奇異值分解,[u,s,v]=svd(a)實現(xiàn)奇異值分解。分解得到的三個因數(shù)有如下關(guān)系a=u*s

3、*v其中u矩陣和v矩陣是正交矩陣，s矩陣是對角矩陣，它的對角元素是a矩陣的奇異值。奇異值分解的穩(wěn)定性很好。,2024/3/31,2 數(shù)據(jù)分析函數(shù),函數(shù)名含義max最大值min最小值mean均值std標(biāo)準(zhǔn)方差median中值,2024/3/31,分析函數(shù),函數(shù)名含義sum元素的總和prod元素的乘積cumrod元素的累積cumsum元素的累加和diff 差分函數(shù):少了一個元

4、素,2024/3/31,例題,求出y=x*sin(x) 在0<x<100的每個峰值思路： 1、數(shù)學(xué)上峰值就是導(dǎo)數(shù)為零的點 2、導(dǎo)數(shù)在matlab中可以使用差分代替 3、差分后怎么求過零點呢？,2024/3/31,3 多項式處理一、多項式表示,多項式在MATLAB中使用降冪系數(shù)的行向量表示。表示中需要包含零系數(shù)的項。poly2str：control toolbox中的函數(shù)使用函數(shù)roots可找出多

5、項式等于零的根。規(guī)定：多項式用行向量，根用列向量。給出多項式的根，使用poly函數(shù)也可以構(gòu)造出相應(yīng)的多項式。,2024/3/31,二、多項式運(yùn)算,函數(shù)conv進(jìn)行乘法運(yùn)算，deconv進(jìn)行除法運(yùn)算。MATLAB沒有提供特別的多項式加減法運(yùn)算。多項式除法并不一定能夠除盡，很多時候需要有余數(shù)多項式。多項式微分使用polyder(p)函數(shù)，估計值使用polyval(p,at)函數(shù)。,2024/3/31,4 曲線擬和與插值,在分析試驗數(shù)

6、據(jù)中，常常要面臨將試驗數(shù)據(jù)作解析描述的任務(wù)，這個問題有曲線擬合和插值兩種方法。在曲線擬合中，假定已知曲線的規(guī)律，作曲線的最佳逼近，但不需要經(jīng)過所有的數(shù)據(jù)點；在插值中，認(rèn)為數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的，求取其中描述點之間的數(shù)據(jù)。,2024/3/31,一、曲線擬合,1、多項式的最小二乘曲線擬合使用polyfit，它需要曲線的x、y值，以及曲線的階數(shù)。曲線的階數(shù)：如果曲線的階數(shù)選擇的過小，擬合效果不好；如果曲線的階數(shù)過高，雖然數(shù)據(jù)點上看到效果好，數(shù)據(jù)點

7、之間會出現(xiàn)有數(shù)據(jù)振蕩的問題，階數(shù)不宜過高，小于5階。靈活使用擬合,2024/3/31,2、直接最小二乘,數(shù)據(jù)規(guī)律并不是多項式形式，直接最小二乘來擬合。最小二乘函數(shù)為k=nnls(fx,y)計算結(jié)果將使得|fx*k-y|2范數(shù)下最小在計算中，fx可以為x的函數(shù)。例子：擬合,matlab,2024/3/31,二、插值函數(shù),1、曲線插值函數(shù)interp1方法 t=interp1(x,y,x0,’method’)x、y：

8、原始數(shù)據(jù)點，x0為進(jìn)行插值的數(shù)組，method為插值算法:線性插值('linear')，三次樣條插值('spline'),三次多項式插值(‘cubic’).如果x0出界，則對應(yīng)值為NaN 例程：ex42.m,matlab,2024/3/31,2、曲面插值,插值函數(shù)： interp2，基本形式：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)method包括 linea

9、r:線性 cubic:三次多項式 nearest：粗略估計數(shù)據(jù)例程：ex43,2024/3/31,三、三次樣條,1、使用的原因 高階多項式插值出現(xiàn)病態(tài)問題，三次樣條使用分段多項式，各點上的三次導(dǎo)數(shù)相等。它光滑、導(dǎo)數(shù)連續(xù)。2、插值 yi=spline(x,y,xi); pp=spline(x,y); 分段多項式形式例程：ex44,2024/3/31,三次樣條,pp形式可以和三次多項式形式轉(zhuǎn)化：

10、[break,coef,np,nc]=unmkpp(pp)斷點、三次多項式、多項式數(shù)量、系數(shù)數(shù)量 pp=mkpp(break,coef);由于轉(zhuǎn)化為了多項式形式，可以方便的進(jìn)行積分和微分運(yùn)算。,2024/3/31,四、濾波和平滑,1、插值和擬合的問題：噪聲2、濾波: 滯后,filter y=filter(b,a,x)a,b:濾波器的分子分母,x輸入 a(1)*y(n) = b(1)*x(n) + b(2)*x(n-

11、1) + ... + b(nb+1)*x(n-nb) - a(2)*y(n-1) - ... - a(na+1)*y(n-na)例程:ex46,2024/3/31,,3、平滑 yi=csaps(x,y,P,xi) yi=csaps(x,y,P)其中P為平滑因子0~10: 最小二乘 1:平滑近似ex46ex45,2024/3/31,5 數(shù)據(jù)分析,1、極小化MATLAB提供了fmin和fmins

12、兩個函數(shù)來求極值，它們分別尋找一維和n維函數(shù)的極值。它使用的單純性法搜索。函數(shù)計算量大，或搜索區(qū)內(nèi)有多極值，搜索的過程較長，也可能找不到極值。如找不到極值，將停止運(yùn)行并提供解釋。尋找極大值點，重定義函數(shù)為-f(x)即可。,2024/3/31,2、求零點,函數(shù)fzero可以尋找一維函數(shù)的過零點。應(yīng)用：使用bode圖判斷控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，要看幅頻特性過零點和相頻特性過1800點。fzero函數(shù)也可以尋找函數(shù)值等于常值點，只要重新定于函數(shù)

13、為f(x)-c即可,2024/3/31,3、積分,有限區(qū)域內(nèi)積分函數(shù)：trapz、quad和quad8。函數(shù)trapz通過計算梯形面積的和近似函數(shù)的積分，函數(shù)的分割是人為地。quad使用Simpson遞歸方法，quad8使用Newton-costes遞歸方法進(jìn)行數(shù)值積分。為了獲得更精確的結(jié)果，它們在所需的區(qū)間都計算被積函數(shù)。quad8比quad更精確。,2024/3/31,4、微分,微分描述了函數(shù)在一點處的斜率，是函數(shù)的微觀性質(zhì)，它

14、對函數(shù)的微小變化十分敏感，函數(shù)的很小的變化，容易產(chǎn)生相鄰點斜率的巨大變化。盡量避免使用數(shù)值微分，尤其是試驗數(shù)據(jù)的微分。如果迫切需要，最好先將試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合伙這三次樣條擬合，然后對擬合函數(shù)進(jìn)行微分。,2024/3/31,5、FFT變換,FFT即快速傅立葉變換，是數(shù)據(jù)分析的基本方法，是x由基2的快速變換算法來計算。如x長度不是精確的2次冪則后面使用0填充，ifft(x)是向量x的離散傅立葉變換的逆變換。在頻率軸上繪制FFT曲線

15、，要明確FFT結(jié)果與實際頻率點的關(guān)系。設(shè)n個數(shù)據(jù)點，采樣頻率為fs，則Nyquist頻率或n=N/2+1點與實際頻率的關(guān)系：f=(num-1)*fs/n,2024/3/31,FFT,需要注意的是fft結(jié)果為復(fù)數(shù)矩陣，為了得到幅頻特性，可使用abs函數(shù)，使用atan2得到相角，由于有的系統(tǒng)的相角可能大于1800，而相角函數(shù)值域在-1800~1800之間，需要使用unwrap函數(shù)展開折疊的相角，從而得到相頻特性。,2024/3/31,6 微

16、分方程數(shù)值解,常微分方程數(shù)值解用逐步積分方法實現(xiàn)，Runge-Kutta法是應(yīng)用最多的微分方程數(shù)值解的方法。兩種Runge-Kutta法函數(shù)：[t,x]=ode23(‘xfun’,t0,tf,x0,tol,trace)[t,x]=ode45(‘xfun’, ,t0,tf,x0,tol,trace)這兩種方法格式相同。其中xfun為定義的常微分方程函數(shù)名，該函數(shù)必須以為輸出，以t、x為輸入。,2024/3/31,微分方程,輸入變量t

17、0、tf為積分的啟始和中止時間，單位是秒。x0為初始的狀態(tài)向量。tol控制結(jié)果的精度，可以缺省。一般來說，ode45比ode23運(yùn)算速度快一些。Var der Pol微分方程重新定義變量，令 x1=x x2=dx/dt則 dx1/dt=x2 dx2/dt=u(1-x12)x2-x1,2024/3/31,精品課件！,2024/3/31,精品課件！,2024/3/31,應(yīng)用舉例,一、特性擬合 title(‘stri