第一章 應(yīng)力.ppt

1、上篇,應(yīng)力應(yīng)變分析,第一章 應(yīng)力分析,主要內(nèi)容：1. 應(yīng)力分量、應(yīng)力張量概念2. 斜截面應(yīng)力公式3. 平衡微分方程4. 應(yīng)力邊界條件5. 應(yīng)力分量坐標(biāo)變換6. 主應(yīng)力，最大剪應(yīng)力，Mohr應(yīng)力圓7. 偏應(yīng)力張量，等效應(yīng)力，主應(yīng)力空間,§1-1 應(yīng)力矢量,一、外力概念,體力、面力,（材力：集中力、分布力。）,(1) 體力,,,,—— 物體內(nèi)單位體積上所受的外力,—— 體力分布集度,（矢量）,X、Y、Z為體力矢量

2、在坐標(biāo)軸上的投影,單位：,N/m3,kN/m3,說明：,(1) F 是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；,(2) F 的加載方式是任意的 (如：重力，磁場(chǎng)力、慣性力等),(3) X、Y、Z 的正負(fù)號(hào)由坐標(biāo)方向確定。,,(2) 面力,—— 作用于物體表面單位面積上的外力,,,,—— 面力分布集度（矢量）,—— 面力矢量在坐標(biāo)軸上投影,單位：,1N/m2 =1Pa (帕),1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕),說明：,(1)

3、 F 是坐標(biāo)的連續(xù)分布函數(shù)；,(2) F 的加載方式是任意的;,,(3) 的正負(fù)號(hào)由坐標(biāo)方向確定。,(1) 一點(diǎn)應(yīng)力的概念,內(nèi)力,,(1) 物體內(nèi)部分子或原子間的相互作用力;,(2) 由于外力作用引起的相互作用力.,(不考慮),P,,(1) P點(diǎn)的內(nèi)力面分布集度,(2) 應(yīng)力矢量.,----P點(diǎn)的應(yīng)力,的極限方向,由外力引起的在 P點(diǎn)的某一面上內(nèi)力分布集度,二、應(yīng)力矢量,應(yīng)力分量,,應(yīng)力的法向分

4、量,—— 正應(yīng)力,應(yīng)力的切向分量,—— 剪應(yīng)力,單位:,MPa (兆帕),應(yīng)力關(guān)于坐標(biāo)連續(xù)分布的,,應(yīng)力分量沿坐標(biāo)軸的分量：,用,表示坐標(biāo)軸單位矢量,重要公式,(2) 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),通過一點(diǎn)P 的各個(gè)面上應(yīng)力狀況的集合,—— 稱為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),x面的應(yīng)力：,y面的應(yīng)力：,z面的應(yīng)力：,用矩陣表示：,應(yīng)力符號(hào)的意義：,,第1個(gè)下標(biāo) x 表示τ所在面的法線方向；,第2個(gè)下標(biāo) y 表示τ的方向.,應(yīng)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定：,,正應(yīng)力—— 拉為正

5、，壓為負(fù)。,剪應(yīng)力—— 坐標(biāo)正面上，與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正；,坐標(biāo)負(fù)面上，與坐標(biāo)正向相反時(shí)為正。,與材力中剪應(yīng)力τ正負(fù)號(hào)規(guī)定的區(qū)別：,,規(guī)定使得單元體順時(shí)轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力τ為正，反之為負(fù)。,在用應(yīng)力莫爾圓時(shí)必須用此規(guī)定求解問題,其中，只有6個(gè)量獨(dú)立。,,剪應(yīng)力互等定理,用張量表示：,重要公式,§1-2 Cauchy公式（斜面應(yīng)力公式）,已知物體在任一點(diǎn)P的六個(gè)應(yīng)力分量,求經(jīng)過P點(diǎn)的任一斜面上的應(yīng)力。,設(shè)三角形ABC的面積為?S，則三

6、角形BPC、CPA、APB的面積分別為l?S 、m?S、 n?S。四面體PABC的體積用?V表示。三角形ABC上的應(yīng)力 在坐標(biāo)軸方向的分量根據(jù)四面體的平衡條件 ，,令平面ABC的外法線為N，其方向余弦為,除以?S，移項(xiàng)后，得,當(dāng)斜面ABC趨近于P點(diǎn)時(shí)，由于?V是比?S更高一階的微量，所以?V/ ?S趨于零。于是得出下式中的第一式。同樣，由平衡條件

7、 可以得出其余兩式。,斜面應(yīng)力(Cauchy)公式,重要公式,設(shè)三角形ABC上的正應(yīng)力為?N , 則由投影可得,將Cauchy公式代入，得,重要公式,重要公式,斜面應(yīng)力矢量大小,重要公式,斜面剪應(yīng)力分量大小,重要公式,在物體的任意一點(diǎn)，如果已知六個(gè)應(yīng)力分量 就可以求得任一斜面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。就是說，六個(gè)應(yīng)力分量完全決定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。,§1-3 平

8、衡微分方程,在物體內(nèi)的任意一點(diǎn)P，割取一個(gè)微小的平行六面體，棱邊的長(zhǎng)度分別為PA=dx，PB=dy，PC=dz。,首先，以連接六面體前后兩面中心的直線 為矩軸，列出力矩的平衡方程,整理，并略去微量后，得,同樣可以得出,剪應(yīng)力互等定理,列出x軸方向的力的平衡方程,由其余兩個(gè)平衡方程 和 可以得出與之相似的兩個(gè)方程?；?jiǎn)，除以dxdydz，得,空間

9、問題的平衡微分方程 （納維葉方程）,重要公式,如物體處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài),根據(jù)達(dá)朗伯(d’Alembert)原理,在體力項(xiàng)中引入慣性力:,運(yùn)動(dòng)微分方程,§1-4 力邊界條件,如果斜截面ABC是物體的邊界面，則Tx、Ty、Tz 成為面力分量 ，于是得出,即應(yīng)力邊界條件。它表明了應(yīng)力分量的邊界值與表面力分量之間的關(guān)系。,重要公式,§1-5 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換,在給定載荷作用下，物體內(nèi)的任

10、意斜截面上應(yīng)力的大小和方向是確定的，即一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是確定的。不隨所取坐標(biāo)系的不同而變化。,一點(diǎn)的應(yīng)力（應(yīng)變）狀態(tài)是用6個(gè)應(yīng)力分量來定義，而應(yīng)力分量是在一定的坐標(biāo)系下確定的，且隨坐標(biāo)系的不同的變化。本節(jié)重點(diǎn)是討論坐標(biāo)變換時(shí)應(yīng)力分量的變化規(guī)律。,坐標(biāo)變換包括平移、旋轉(zhuǎn)和反射。 對(duì)右手坐標(biāo)系，平移和旋轉(zhuǎn)變換后仍保持右手系，反射變換則變成左手系。,對(duì)平移變換，一點(diǎn)的應(yīng)力分量保持不變。,本節(jié)主要討論坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換時(shí)應(yīng)力分量的

11、變化規(guī)律,考察物體內(nèi)任一點(diǎn)o，設(shè)oxyz為舊坐標(biāo)系，其單位矢量為ex、ey、ez，相應(yīng)的應(yīng)力分量為,,,,x,y,z,,,,e1,e2,e3,設(shè)ox’y’z’為新坐標(biāo)，其單位矢量為ex’、ey’ 、ez’ 。相應(yīng)的應(yīng)力分量為,新舊坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸間的方向余弦為,作斜面abc垂直于x’軸，該斜面上的應(yīng)力矢量為T。T在舊坐標(biāo)系下的三個(gè)分量為Tx， Ty和Tz ，則,,,,,,,x,y,z,z’,x’,y’,,,,,,,,,T,由斜面應(yīng)力(Ca

12、uchy)公式,T在新坐標(biāo)系下的三個(gè)分量為 Tx’ 、 Ty’ 、Tz’ 則,用矩陣表示：,同理：,合并：,§1-6 主應(yīng)力與應(yīng)力張量不變量,已知一點(diǎn)的應(yīng)力分量 ，則任意斜截面上的應(yīng)力矢量,斜截面上的應(yīng)力不僅與該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 有關(guān)，且與斜面的方向 有關(guān)。,問：是否存在一特定的斜截面，剪應(yīng)力為零。其上應(yīng)力矢量T與截面法線同向。即T為該截面上的正應(yīng)力 ，,已知,當(dāng)斜

13、面法線方向滿足上述方程時(shí)，該斜面上只有正應(yīng)力，沒有剪應(yīng)力，稱該平面為主平面；主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力；主應(yīng)力方向（即主平面法線方向）稱為主方向。,上述方程為 的齊次線性方程組， 且常數(shù)項(xiàng)都為零。因?yàn)椋?，故 不能同時(shí)為零，所以方程組的系數(shù)行列式應(yīng)為零，即,將行列式展開，得到求解主應(yīng)力 的三次方程，稱為應(yīng)力張量 的特征方程。,式

14、中,設(shè)特征方程的三個(gè)根為 ，則,展開后有,比較上兩式，有,對(duì)一個(gè)給定的應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力的大小和方向是確定的，不隨坐標(biāo)系的變換而變化。故 是不隨坐標(biāo)系的變換而變化的量，稱為應(yīng)力張量不變量。,（特征方程）,分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。,例：,求主應(yīng)力和主方向,解：,代入特征方程：,解得,求 對(duì)應(yīng)的主方向,主應(yīng)力的重要性質(zhì),1. 主應(yīng)力為實(shí)數(shù)；

15、2. 三個(gè)主應(yīng)力相互垂直； 即物體內(nèi)任意一點(diǎn)，一定存在三個(gè)互相垂直的應(yīng)力主平面，及對(duì)應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力。 （1）當(dāng) ，有3個(gè)相互垂直的主應(yīng)力； （2）當(dāng) ，與 垂直的平面上的任意方向都為主應(yīng)力方向，即該平面上任意方向都是主方向，且應(yīng)力值相同。 （3）當(dāng) ，空間

16、任意方向都是主方向，且應(yīng)力值相同。,3. 主應(yīng)力的極值性； （1）最大（或最小）的主應(yīng)力是相應(yīng)點(diǎn)處任意截面上正應(yīng)力的最大（或最?。┲担辉O(shè)： ，則（2）絕對(duì)值最大（或最小）的主應(yīng)力是相應(yīng)點(diǎn)處任意截面上全應(yīng)力T的最大（或最?。┲?。,§1-7 最大剪應(yīng)力,設(shè)3個(gè)主應(yīng)力及主方向已知。以3個(gè)主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸方向。則應(yīng)力分量：,由斜面應(yīng)力公式,,由,是m，n的函數(shù)， 取極值（

17、 也取極值）的條件是,即,上式第一式除 ，第二式除 ， 得,（1）當(dāng),對(duì)應(yīng)主平面，其剪應(yīng)力為零。（極小值）,第二組解：,第一組解：,對(duì)應(yīng)于經(jīng)過主軸之一，而平分其他兩主軸夾角（與主平面成45°）的平面，其剪應(yīng)力取極大值。,,,,,,,,,,,,設(shè),，最大剪應(yīng)力為：,剪應(yīng)力極大值（六個(gè)面）：,（2）兩主應(yīng)力相等，設(shè),由第二式，得,方程的解為,由第一式自然滿足,表

18、示通過oz軸的平面，該組平面上，剪應(yīng)力為零。,表示任一個(gè)與圓錐面相切的微分面。在該組面上剪應(yīng)力取最大值。,,,,,,,,,,,,（3）三個(gè)主應(yīng)力相等,空間任一方向都為主方向，即任一平面都是主平面，剪應(yīng)力均為零。,該應(yīng)力狀態(tài)稱為均勻受力狀態(tài)，也稱為靜水應(yīng)力狀態(tài)。,§1-8 Mohr應(yīng)力圓（自學(xué)）,,§1-9 應(yīng)力張量的分解（應(yīng)力球形張量與偏應(yīng)力張量）,描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的9個(gè)應(yīng)力分量構(gòu)成一個(gè)對(duì)稱應(yīng)力張量,引入平均應(yīng)力,

19、則,應(yīng)力張量可分解為兩個(gè)張量之和,簡(jiǎn)寫為,式中,稱 為應(yīng)力偏量， 為應(yīng)力球形張量， 為單位張量。,球形張量是代表各向均勻拉伸或壓縮的應(yīng)力狀態(tài)。,球形張量應(yīng)力（靜水應(yīng)力）作用下，物體只產(chǎn)生各向相同的線應(yīng)變而無(wú)剪應(yīng)變。對(duì)應(yīng)物體的體積改變，而形狀不變。,應(yīng)力偏量代表各面正應(yīng)力中偏離靜水應(yīng)力的量，是正應(yīng)力之和為零的應(yīng)力狀態(tài)。該應(yīng)力狀態(tài)下，物體的體積不改變而形狀改變。,靜水壓力實(shí)驗(yàn)研究表明，在均勻受力情況

20、下，即使應(yīng)力達(dá)到很大值，材料也不產(chǎn)生塑性變形。 故：應(yīng)力球形張量不產(chǎn)生材料的塑性變形； 應(yīng)力偏量是產(chǎn)生塑性變形的真正原因。,,應(yīng)力偏量也是一種應(yīng)力狀態(tài)，同樣存在著不變量。用 表示。,式中：,一、八面體應(yīng)力以三個(gè)應(yīng)力主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，過物體中的一點(diǎn)作一外法線n與3個(gè)應(yīng)力主方向有相同角度的斜面。即：由： 有:,§1-10八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力,這樣的斜面稱為等

21、傾面，共8個(gè)，在空間構(gòu)成一個(gè)八面體。,,,,,,,,,,,,,,,,由斜截面計(jì)算公式：,得,八面體平面上的應(yīng)力在塑形理論中非常重要,比較 有,二、等效應(yīng)力,設(shè),單軸拉伸,主應(yīng)力空間中任意一坐標(biāo)點(diǎn) 代表物體一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。,三、主應(yīng)力空間與 平面,由 為作標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系，稱為主應(yīng)力空間,,,,或：物體中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)在主應(yīng)力空間中有

22、對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)。,,,,,,在主應(yīng)力空間，過原點(diǎn)O作一條與3個(gè)坐標(biāo)軸具有相同夾角的直線，該直線上的任意一點(diǎn)所代表的應(yīng)力狀態(tài)有,為靜水壓力狀態(tài)，該直線為靜水壓力軸。,過原點(diǎn)O以靜水壓力軸為法線作一個(gè)平面，稱為 平面。,在 平面上， ，為偏應(yīng)力狀態(tài) 。,,,,,,,,,,,,,,靜水壓力軸,重要公式：,一、應(yīng)力狀態(tài)矩陣,二、斜面應(yīng)力(Cauchy)公式,三、斜截面應(yīng)力矢量，