復(fù)變函數(shù)ppt第一章

1、1,復(fù)變函數(shù)論,主講人 周金華,2,第一章　復(fù) 數(shù),復(fù)平面,復(fù)數(shù)的球面表示 擴(kuò)充復(fù)平面,第一章總結(jié)與習(xí)題,,,,,復(fù)數(shù)的幾何意義,復(fù)數(shù)的定義及其代數(shù)運(yùn)算,序言,引言,3,復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì).1774年,Euler(歐拉)在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程.而比他更早時(shí),法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中,就已經(jīng)得到了它們.因此,后來(lái)人們提到這兩個(gè)方程,把它們叫做“達(dá)朗貝爾-歐拉方程”.到了十九

2、世紀(jì),上述兩個(gè)方程在Cauchy(柯西)和Riemann(黎曼)研究流體力學(xué)時(shí),作了更詳細(xì)的研究,所以這兩個(gè)方程也被叫做“柯西-黎曼條件(C-R條件)”.,,,,,序 言,4,,,,,復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì),就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣,復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué).當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學(xué)分支,并且稱(chēng)為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受,也有人稱(chēng)贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一.,

3、復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面,涉及的面很廣,有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來(lái)解決的.比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場(chǎng), 對(duì)它們的研究是用復(fù)變函數(shù)來(lái)解決的.,5,,,,,比如俄國(guó)的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候,就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問(wèn)題,他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問(wèn)題上也做出了貢獻(xiàn).,復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用,而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論.它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論

4、和數(shù)論等學(xué)科,對(duì)它們的發(fā)展很有影響.,6,,,,,復(fù)數(shù)的概念起源于求方程的根,在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負(fù)數(shù)開(kāi)平方的情況.在很長(zhǎng)時(shí)間里,人們對(duì)這類(lèi)數(shù)不能理解.但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,這類(lèi)數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來(lái).復(fù)數(shù)的一般形式是: a+bi,其中i是虛數(shù)單位.,以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù),而與之相關(guān)的理論就是復(fù)變函數(shù)論.,7,,,,,解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類(lèi)具有解析性質(zhì)的函數(shù),復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解

5、析函數(shù),因此通常也稱(chēng)復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論.,復(fù)變函數(shù)是以研究復(fù)變量之間的相互依賴(lài)關(guān)系為主要任務(wù)的一門(mén)數(shù)學(xué)課程.它與高等數(shù)學(xué)中的許多概念、理論和方法有相似之處.但又有其固有的特性.因此充分運(yùn)用已學(xué)過(guò)的高等數(shù)學(xué)知識(shí),緊緊抓住復(fù)變函數(shù)的固有特性,是把本門(mén)課程學(xué)好的關(guān)鍵 .,8,第一節(jié)　復(fù)數(shù)的定義及其代數(shù)運(yùn)算,復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)域,例2,復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù),,,,,復(fù)數(shù)的概念及表示,教學(xué)要求,例1,例3,例4,9,引 言,,,,,本

6、章的內(nèi)容對(duì)以后學(xué)習(xí)將起到重要的作用.從這章開(kāi)始,我們將學(xué)習(xí)一個(gè)更大的數(shù)域—復(fù)數(shù)域!大部分理論是微積分內(nèi)容的延伸,因此學(xué)習(xí)本課程,要求我們回顧微積分的內(nèi)容,比較相同和不同的地方.,10,教學(xué)要求,,,,,教學(xué)要求:對(duì)于概念和理論方面,從高到低分別用“理解”,“了解”,“知道”三級(jí)來(lái)表述; 對(duì)于方法,運(yùn)算和能力方面,從高到低分別用“熟練掌握”,“掌握”,“能/會(huì)”三級(jí)來(lái)表述.,11,,復(fù)數(shù)出現(xiàn)的必要性:我們熟悉的實(shí)數(shù)已經(jīng)

7、不能滿(mǎn)足需要了，如方程,就沒(méi)有實(shí)數(shù)解,甚至我們知道,在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),這個(gè)方程沒(méi)有意義！要使(1)有意義,需要把數(shù)的范圍擴(kuò)大,下面我們學(xué)習(xí)復(fù)數(shù).,(1),復(fù)數(shù)的概念及表示,,,,,12,,,,,形如,,,,,在復(fù)數(shù)中,引進(jìn)記號(hào)“i ”(虛數(shù)單位),定義 “i2 = -1 ”.,的數(shù),稱(chēng)為復(fù)數(shù).其中實(shí)數(shù)x和y分別,稱(chēng)為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,常記為,復(fù)數(shù),13,,,,,(1)加(減)法,復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)域,(2)乘法,(3)除法,14,,

8、,,,求 的和,差,積,商.,參考解答,15,,,,,引進(jìn)四則運(yùn)算后的全體復(fù)數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)域.,注:實(shí)數(shù)域 復(fù)數(shù)域,復(fù)數(shù)域也有自己的特點(diǎn).,在復(fù)數(shù)域上,復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以和實(shí)數(shù)類(lèi)似地可以合并同類(lèi)項(xiàng)、作多項(xiàng)式乘法、分母有理化等.,復(fù)數(shù)域,16,,,,,,由于復(fù)數(shù)z與從原點(diǎn)到z的向量的對(duì)應(yīng),稱(chēng)向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)z的模(或絕對(duì)值),記作 |z| (或用 r 表示).,復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,

9、計(jì)算式為,17,,,,,,,,,,z1,z2,z1+z2,,,x1+x2,y1+y2,,z1-z2,模的性質(zhì),18,,,,,復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)、模之間有下面的關(guān)系:,共軛復(fù)數(shù),19,,求,,,,,設(shè),證明若,參考解答,參考解答,參考解答,20,第二節(jié)　復(fù)數(shù)的幾何意義,輻角,例3,,,,,復(fù)平面與復(fù)數(shù)加法的幾何意義,例1,復(fù)數(shù)乘(除)法的幾何意義,復(fù)數(shù)的冪與方根,例6,例8,復(fù)數(shù)的三種表示形式,例2,exe,思考,教學(xué)要求(見(jiàn)第一節(jié) ),ex

10、e,例4,例5,例7,21,,,,,復(fù)平面與復(fù)數(shù)加法的幾何意義,如圖,1.一個(gè)復(fù)數(shù)z和一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y)對(duì)應(yīng),因此平面上的點(diǎn)與全體復(fù)數(shù)之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.,2.一個(gè)復(fù)數(shù)z與從原點(diǎn)到z的向量也對(duì)應(yīng).,．,,r,,22,,,,,P,Q,復(fù)數(shù)z可以從幾何上來(lái)刻畫(huà):,(1) |z|=|oM|=r,(2) Rez=x,Imz=y (投影),,,,,,z1,z2,z1+z2,,,x1+x2,y1+y2,,z1-z2,23,,,,,求下

11、復(fù)數(shù)的模.,參考解答,24,,,,,輻角,輻角,記作 ,任何非零復(fù)數(shù)都有無(wú)窮多個(gè) 的輻角.,25,,,,,,稱(chēng)滿(mǎn)足條件 的一個(gè)值為Argz的主值，也稱(chēng)為z的主輻角.,輻角主值,,26,,,,,,argz,,,27,,,,,求,解答參考,解答參考,28,,,,,復(fù)數(shù)的三種表示形式,(1) 解析形式,z=x+iy,(2) 三角形式,(3) 指數(shù)形式,,,29,,,,,將下復(fù)數(shù)化為指數(shù)形式,參考解答,

12、參考解答,參考解答,30,將下復(fù)數(shù)化為指數(shù)形式,,,,,31,,,,,復(fù)數(shù)乘(除)法的幾何意義,用復(fù)數(shù)的指數(shù)形式表示復(fù)數(shù)的乘法和除法很方便,如,復(fù)數(shù)的乘/除法的幾何意義從圖上看更直觀.,,32,,,,,應(yīng)理解為集合相等的關(guān)系.,33,,,,,求復(fù)數(shù) 的模和輻角主值.,參考解答,參考解答,34,,,,,,已知正方形的兩個(gè)對(duì)角頂點(diǎn)為(0,0),(1,1),求另一對(duì)頂點(diǎn).,,,,(1,1),,x,y,Ref：

13、(0,1),(1,0),35,,,,,復(fù)數(shù)的冪與方根,利用兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法,很快可以得到n個(gè)復(fù)數(shù)的 乘積的模和輻角的計(jì)算.,模:,輻角:,36,,,,,利用指數(shù)形式,有De Moivre(德摩弗)公式,37,,,,,由于n次冪與n次方根是互逆運(yùn)算 ,因此定義復(fù)數(shù)的開(kāi)n方的運(yùn)算如下,這些根記作,,n次方根,38,,,,,由于復(fù)根的成對(duì)性，以及習(xí)慣用0和正數(shù)表示下標(biāo)，事實(shí)上只要取k=0,1,…,n-1即可以了.即,39,,,,,由上面

14、的結(jié)果知道,這n個(gè)根均勻分布以 為半徑的圓周上.,,,,,,,,,,40,,,,,計(jì)算 .,,1,,,,1,,,,,,,,,參考解答,41,第三節(jié)　復(fù)平面點(diǎn)集,復(fù)解析幾何,exe1,例2,例3,,,,,常見(jiàn)的復(fù)平面點(diǎn)集,例1,42,,,,,鄰域,,,常用的復(fù)平面點(diǎn)集,43,,,,,,內(nèi)點(diǎn)、開(kāi)集、邊界點(diǎn)、邊界,,,,E,,內(nèi)點(diǎn),如果 E 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末E 稱(chēng) 為開(kāi)集.,44,,

15、,,,如果在z0的任意一個(gè)鄰域內(nèi),都有屬于E的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),則稱(chēng)z0為E的邊界點(diǎn)。,點(diǎn)集E的全體邊界組成的集合稱(chēng)為E的邊界.記為 ??E,,,,,45,,,,,區(qū)域,如果平面點(diǎn)集E滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件,則稱(chēng)它為一個(gè)區(qū)域.,(1) E是一個(gè)開(kāi)集；,(2) E是連通的(即E中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于E的一條折線連結(jié)起來(lái).),E加上E的邊界稱(chēng)為閉域.,,z1?,z2?,,E,,記為?E＝E+?E,46,,,,,有界區(qū)域,,,,

16、,z,x,y,E有界！,o,,E,47,,,,,Jordan曲線,光滑曲線,表示復(fù)數(shù)平面上的一條曲線C.,起點(diǎn)z(?),終點(diǎn)z(?),,,z,x,y,,,,C,C的正向:從起點(diǎn)??終點(diǎn),o,,48,,,,,稱(chēng)沒(méi)有重點(diǎn)的曲線 C 稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線(Jordan曲線).,簡(jiǎn)單曲線自身不相交.,,,重點(diǎn),,重點(diǎn),,重點(diǎn),,,,,,49,,,,,判斷下列曲線是否為簡(jiǎn)單曲線?,,,,,簡(jiǎn)單閉,簡(jiǎn)單不閉,不簡(jiǎn)單閉,不簡(jiǎn)單不閉,50,,,,,由幾

17、段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱(chēng)為分段光滑曲線.,（1）光滑曲線上的各點(diǎn)都有切線,（2）光滑曲線可以求長(zhǎng),光滑曲線,特點(diǎn),51,,,,,復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域D, 如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于D, 就稱(chēng)D為單連通域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱(chēng)為多連通域.,,,單連通域,,,,多連通域,,單連通域與多連通域,52,,,,,復(fù)解析幾何,在初等解析幾何中,一個(gè)圖形的方程可以表示為x與y的關(guān)系(解析式),同時(shí)也可以

18、用圖形表示(圖示),通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.,在復(fù)平面上,這種關(guān)系用復(fù)數(shù)表示起來(lái)有時(shí)也是很方便的.這就是復(fù)解析幾何.,53,,,,,求下列方程表示的曲線,參考解答,參考解答,參考解答,54,第四節(jié) 復(fù)數(shù)的球面表示,擴(kuò)充復(fù)平面,擴(kuò)充復(fù)平面,,,,,復(fù)數(shù)的球面表示,教學(xué)要求(見(jiàn)第一節(jié) ),55,,,,,單位球面上的點(diǎn), 除去北極 N 外, 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).,球面上的每一個(gè)點(diǎn) p