應(yīng)用同倫分析方法求解流體力學(xué)中若干非線性問題.pdf

1、隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,非線性方程的求解已成為廣大科學(xué)工作者經(jīng)常面臨的問題.但構(gòu)造非線性微分方程的解是既重要又困難的課題,需要靈活高效的數(shù)學(xué)工具.近年來,國內(nèi)外的研究者在應(yīng)用同倫分析方法來求解非線性微分方程方面做了大量的工作,獲得了很多成果.本文在前人研究的基礎(chǔ)上,一方面求解了一些在科學(xué)和工程上具有重要意義的問題；另一方面,也為豐富同倫分析方法的內(nèi)容,提供一些重要的實(shí)例,以探索同倫分析方法在解決非線性問題時(shí)出現(xiàn)的新特點(diǎn)和新現(xiàn)象,進(jìn)一步發(fā)掘同

2、倫分析方法的潛力. 本文簡要地回顧了非線性問題解析方法,并介紹了同倫分析方法的基本思想.選取了反應(yīng)擴(kuò)散、邊界層流動(dòng)等在科學(xué)和工程中都有重要意義的主題,利用同倫分析方法求解了其中一些具有代表性的問題.首先,以一維反應(yīng)擴(kuò)散方程--Fisher方程作為研究對象,考察其行波解問題,分別采用順序求解和同步求解兩種方法,首次得到了包括振蕩解在內(nèi)的全部波速的顯式行波解以及解的陡度與波速之間的定量關(guān)系,所提的方法可以作為解決具有類似形式的行波解

3、(如沖擊波,扭結(jié)波和反扭結(jié)波)的非線性方程的一般方法,同時(shí),研究了反應(yīng)擴(kuò)散方程的初值問題,并通過引入新的時(shí)間變量,獲得了在整個(gè)時(shí)間域內(nèi)收斂的解. 其次,考察了一些典型的流動(dòng)和傳熱問題.在第三章,研究了多孔介質(zhì)中垂直平板的自然對流問題,由于采用非相似變換,在邊界層近似下,控制方程仍為偏微分方程且邊界條件中含有變量,應(yīng)用同倫分析方法首次給出了該問題精確的級數(shù)解,其正確性得到了數(shù)值解的驗(yàn)證.第四章中,利用同倫分析方法,成功地獲得了不可

4、滲透平板邊界層熱分布問題的雙解,采用漸近分析(主項(xiàng)平衡)法,將Pr數(shù)引入解表達(dá)的基函數(shù),獲得了在Pr值很大范圍內(nèi)收斂的級數(shù)解,并討論了各物理參數(shù)對傳熱的影響.接下來的兩章里,主要從方法的角度作了探討.第五章,在同倫分析方法的框架內(nèi),給出了求解具有無窮多解的代數(shù)衰減邊界層的一種新的方法,將解表達(dá)原則與流動(dòng)本身的性質(zhì)聯(lián)系起來,并得出更加合理的多解產(chǎn)生的機(jī)理,展示了同倫分析方法解決具有多解的非線性問題的巨大潛力.第六章中,求解了二階非牛頓流體

5、邊界層方程,由于該方程具有較高的階數(shù),對線性算子的選擇提出了新的問題,從效率的角度對此作了討論,給出了線性算子選擇的一新的參考標(biāo)準(zhǔn).在第七章,考察了旋轉(zhuǎn)流體中的三維非定常流動(dòng),經(jīng)過相似分析之后,該問題的控制方程由NS方程變?yōu)閮蓚€(gè)完全耦合的非線性偏微分方程組,利用同倫分析方法,給出了該問題在整個(gè)時(shí)間區(qū)域和空間區(qū)域內(nèi)一致有效的解以及局部摩擦阻力系數(shù)的顯式表達(dá)式,并將解析解與數(shù)值方法的結(jié)果做了比較. 最后,應(yīng)用同倫分析方法求解了典型的

6、非線性演化方程--立方薛定諤(NLS)方程的初值問題,這也是同倫分析方法首次求解復(fù)值域的非線性偏微分方程.本論文所做的工作充分顯示了同倫分析方法一些顯著的特點(diǎn),如不依賴于非線性方程中小參數(shù)是否存在,可以有效地控制和調(diào)節(jié)級數(shù)解的收斂區(qū)間和收斂速度.同時(shí)突出了同倫分析方法求解非線性問題時(shí)的操作方便、適用性廣、靈活度高等優(yōu)點(diǎn). 此外,同倫分析方法所特有的自由性,可以將物理問題與同倫分析方法更緊密的結(jié)合,可以獲得其他解析方法或數(shù)值方法未