概率論第六章

1、區(qū)間估計,區(qū)間估計的思想,點估計總是有誤差的，但沒有衡量偏差程度的量，區(qū)間估計則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個區(qū)間范圍。,引例 設某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命X~N（?，1002），現(xiàn)隨機抽取5只，測量其壽命如下：1455，1502，1370，1610，1430，則該廠燈泡的平均使用壽命的點估計值為,可以認為該種燈泡的使用壽命在1473.4個單位時間左右，但范圍有多大呢？又有多大的可能性在這“左右”呢？,如果要求有95%

2、的把握判斷?在1473.4左右，則由U統(tǒng)計量可知,由,,查表得,,置信水平、置信區(qū)間,設總體的分布中含有一個參數(shù)?，對給定的?，如果由樣本（X1，X2，…，Xn）確定兩個統(tǒng)計量 ?1（ X1，X2，…，Xn ）， ?2（ X1，X2，…，Xn ），使得P{?1 <?< ?2}=1- ?，則稱隨機區(qū)間（ ?1 ， ?2 ）為參數(shù)?的置信度（或置信水平）為1- ?的置信區(qū)間。,?1——置信下限 ?2——置

3、信上限,幾點說明,1、參數(shù)?的置信水平為1-?的置信區(qū)間（ ?1， ?2） 表示該區(qū)間有100（1-?）%的可能性包含總體參 數(shù)?的真值。,2、不同的置信水平，參數(shù)?的置信區(qū)間不同。,3、置信區(qū)間越小，估計越精確，但置信水平會降低； 相反，置信水平越大，估計越可靠，但精確度會降 低，置信區(qū)間會較長。一般：對于固定的樣本容量， 不能同時做到精確度高（置信區(qū)間小），可靠程度也 高（

4、1- ?大）。如果不降低可靠性，而要縮小估計范 圍，則必須增大樣本容量，增加抽樣成本。,正態(tài)總體方差已知，對均值的區(qū)間估計,如果總體X~N（?，?2），其中?2已知， ?未知，則取U-統(tǒng)計量 ，對?做區(qū)間估計。,對給定的置信水平1-?，由確定臨界值（X的雙側(cè)?分位數(shù)）得?的置信區(qū)間為,將觀測值 代入，則可得具體的區(qū)間。,例1 某車間生產(chǎn)滾珠，從

5、長期實踐中知道，滾珠直徑X可以認為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機抽取6個，測得直徑為（單位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點估計；（2）若已知方差為0.06，試求該天平均直徑EX的置信 區(qū)間：?=0.05；?=0.01。,解 （1）由矩法估計得EX的點估計值為,續(xù)解 （2）由題設知X~N（?，0.06）,構(gòu)造U-統(tǒng)計

6、量，得EX的置信區(qū)間為,當?=0.05時，,而,所以，EX的置信區(qū)間為（14.754，15.146）,當?=0.01時，,所以，EX的置信區(qū)間為（14.692，15.208）,置信水平提高，置信區(qū)間擴大，估計精確度降低。,例2 假定某地一旅游者的消費額X服從正態(tài)分布N（?，?2），且標準差?=12元，今要對該地旅游者的平均消費額EX加以估計，為了能以95%的置信度相信這種估計誤差小于2元，問至少要調(diào)查多少人？,解 由題意知：消

7、費額X~N（?，122），設要調(diào)查n人。,由,即,得,查表得,而,,解得,至少要調(diào)查139人,正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計,如果總體X~N（?，?2），其中?，?均未知,由,構(gòu)造T-統(tǒng)計量,當置信水平為1-?時，由,查t-分布表確定,從而得?的置信水平為1-?的置信區(qū)間為,例3 某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認為服從正態(tài)分布，今隨機抽取9個，測得其重量為（單位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.

8、7，21.4，21.3，21.6。試用95%的置信度估計全部口杯的平均重量。,解 由題設可知：口杯的重量X~N（?，?2）,由抽取的9個樣本，可得,由,得,查表得,全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（21.26，21.54）,P127例5與P126例3的比較：,解 由題設可知：平均消費額X~N（?，?2）,平均消費額的置信區(qū)間為（75.0464，84.9536）,由,得,查表得,估計誤差為,精確度降低,——原因：樣本容量減少,在實際應

9、用中，方差未知的均值的區(qū)間估計較有應用價值。,練習 假設某片居民每月對某種商品的需求量X服從正態(tài)分布，經(jīng)調(diào)查100家住戶，得出每戶每月平均需求量為10公斤，方差為9，如果某商店供應10000戶，試就居民對該種商品的平均需求量進行區(qū)間估計（?=0.01），并依此考慮最少要準備多少這種商品才能以99%的概率滿足需求？,解 由題設可知：平均需求量X~N（?，?2）,平均消費額的置信區(qū)間為（9.229，10.771）,由,查表得

10、,續(xù)解,要以99%的概率滿足10000戶居民對該種商品的需求，則最少要準備的量為,（公斤）,最多準備,（公斤）,正態(tài)總體均值已知，對方差的區(qū)間估計,如果總體X~N（?，?2），其中?已知，?2未知,由,構(gòu)造?2-統(tǒng)計量,查?2- 分布表，確定雙側(cè)分位數(shù),從而得?2的置信水平為1-?的置信區(qū)間為,例題　已知某種果樹產(chǎn)量服從Ｎ（218，?2），隨機抽取6棵計算其產(chǎn)量為（單位：公斤）221，191，202，205，256，236試以95

11、%的置信水平估計產(chǎn)量的方差。,解,計算,查表,果樹方差的置信區(qū)間為,正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計,如果總體X~N（?，?2），其中?2未知,由,構(gòu)造?2-統(tǒng)計量,當置信水平為1-?時，由,查?2- 分布表，確定雙側(cè)分位數(shù),從而得?2的置信水平為1-?的置信區(qū)間為,例4 設某燈泡的壽命X~N（?，?2）， ?，?2未知，現(xiàn)從中任取5個燈泡進行壽命試驗，得數(shù)據(jù)10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（單位：千小時），求置

12、信水平為90%的?2的區(qū)間估計。,解 樣本方差及均值分別為,?2的置信區(qū)間為（0.4195，5.5977）,由,得,查表得,小 結(jié),總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計,（1）方差已知，對均值的區(qū)間估計,假設置信水平為1-?,構(gòu)造U-統(tǒng)計量，反查標準正態(tài)分布表，確定U的雙側(cè)分位數(shù),得EX的區(qū)間估計為,小 結(jié),總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計,（2）方差未知，對均值的區(qū)間估計,假設置信水平為1-?,構(gòu)造T-

13、統(tǒng)計量，查t-分布臨界值表，確定T的雙側(cè)分位數(shù),得EX的區(qū)間估計為,小 結(jié),總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計,（3）均值已知，對方差的區(qū)間估計,假設置信水平為1-?,構(gòu)造?2-統(tǒng)計量，查?2-分布臨界值表，確定?2的雙側(cè)分位數(shù),得?2的區(qū)間估計為,小 結(jié),總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計,（4）均值未知，對方差的區(qū)間估計,假設置信水平為1-?,構(gòu)造?2-統(tǒng)計量，查?2-分布臨界值表，確定?2的雙側(cè)分位數(shù),得