多重生命函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)序研究

1、基金項(xiàng)目：安徽省教育廳自然科學(xué)項(xiàng)目壽險(xiǎn)精算中利率風(fēng)險(xiǎn)防范研究(2006KJ237B)資助。作者簡(jiǎn)介：李孝豐（1974—），男，安徽省長(zhǎng)豐縣人，安徽工程科技學(xué)院，碩士研究生，研究方向：金融控制。Email:lixiaofeng551@王傳玉（1964—），男，安徽省蕪湖市人，安徽工程科技學(xué)院，副教授，碩士，研究方向：保險(xiǎn)精算。多重生命函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)序研究多重生命函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)序研究李孝豐，王傳玉（安徽工程科技學(xué)院應(yīng)用數(shù)理系，安徽蕪湖24100）摘

2、要摘要：隨機(jī)序作為一種重要方法，在統(tǒng)計(jì)學(xué)，可靠性，排隊(duì)論，精算數(shù)學(xué)等研究領(lǐng)域受到了越來(lái)越多的重視。本文研究了兩列壽命隨機(jī)變量的連生狀態(tài)和最后生存狀態(tài)，在獨(dú)立但不同分布的假設(shè)下，給出了它們的剩余壽命和失效時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)排序。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：剩余壽命；失效時(shí)間；隨機(jī)序；連生狀態(tài)；最后生存者狀態(tài)中圖分類號(hào)：中圖分類號(hào)：O213.2文獻(xiàn)表示碼：文獻(xiàn)表示碼：A0引言引言最早的有關(guān)隨機(jī)序概念的研究工作始于Hardy，Littlewood與Po’lya于1

3、934年發(fā)表的關(guān)于不等式的名著[1].他們?cè)趦蓚€(gè)非負(fù)向量之間引入的占優(yōu)關(guān)系，實(shí)際上即是一階停止損失序，此后，隨機(jī)序在排隊(duì)論、可靠性、統(tǒng)計(jì)學(xué)等多種領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用[24].自然，基于期望效用原理，隨機(jī)序也在經(jīng)濟(jì)金融決策領(lǐng)域[5，6]及在保險(xiǎn)精算領(lǐng)域[7，8]的研究中備受青睞.多生命函數(shù)在精算學(xué)中占有非常重要的地位，連生狀態(tài)和最后生存狀態(tài)是多重生命函數(shù)的兩種特殊情況，多重生命函數(shù)的分布特征是相關(guān)產(chǎn)品定價(jià)和評(píng)估的基礎(chǔ)，一般沒(méi)有現(xiàn)成的多重生

4、命的生命表的使用，所以研究多重生命函數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)排序顯得尤為重要.本文在兩列壽命隨機(jī)變量獨(dú)立但不同分布的假設(shè)下，????1212nnXXXYYY??主要研究了它們的連生狀態(tài)和最后生存狀態(tài)的剩余壽命和失效時(shí)間在隨機(jī)序意義下的關(guān)系.1預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)1.1生存函數(shù)對(duì)于新生個(gè)體，其死亡年齡是一個(gè)連續(xù)性隨機(jī)變量.用記的分布函數(shù)，則X??FxX并記為新生個(gè)體的生存函數(shù)，其????0.FxPXxx?????????1SxFxPXx????中.??01S

5、?1.2歲人的剩余壽命x剩余壽命是指新生嬰兒在活到某年齡時(shí)剩余的壽命，新生嬰兒在生存到歲的條件下x并于年齡歲前死亡的概率為z??????????????.1FzFxSxSzPxXzXxFxSx????????壽命隨機(jī)變量在活動(dòng)時(shí)的剩余壽命記為.XttX1.3生效時(shí)間在本文中，我們把壽命隨機(jī)變量消亡在之前的失效時(shí)間記為.有：Xt??tX意義下小于，如果為關(guān)于的遞增函數(shù).Y????GtFttR?定理定理2.1[4]設(shè)和是任意兩隨機(jī)變量，如果

6、，則.XYhrXY?stXY?定理定理2.2[4]下面兩條件等價(jià)：（1）（2）hrXY?tsttXY?定義定義2.4.1如果非負(fù)隨機(jī)變量，，其生存函數(shù)為，則的平均剩余壽XEX?????FxX命為其中.????0EXtXtttmt??????????其它????sup:0ttFt???定義定義2.4.2假定和是兩隨機(jī)壽命，其平均剩余壽命函數(shù)分別為和，如果對(duì)所有XYml，則稱在平均剩余序意義下小于。記作.????tmtlt?XYmrlXY?

7、定理定理2.3假定和是兩隨機(jī)變量，其平均剩余壽命函數(shù)分別為和，若，則XYhlhrXY?.mrlXY?證明：由定義2.4.1知，又因?yàn)??????ttmtFxdxFtt????????????所以????????expxtfuFxduFuFt???????????????????exptxttmthududxtt???????故即。因?yàn)椋?hrXY?????hulu?????mtlt?mrlXY?定義2.5設(shè)和是兩個(gè)連續(xù)的兩隨機(jī)變量，

8、和分別為和的分布函數(shù).如果函XYFGXY數(shù)是關(guān)于的單調(diào)函數(shù)，則稱在逆死亡力序意義下小于，記作.????FxGxXXYhrXY?定理定理2.4[4]設(shè)和是兩個(gè)兩隨機(jī)變量，如果，則.XYhrXY?stXY?3幾個(gè)主要結(jié)果幾個(gè)主要結(jié)果定理定理3.1假定是兩組獨(dú)立的隨機(jī)變量，且滿足??12iiXYim??則.12ihriXYim???????11minminmmrlmXXYY???證明：首先證明當(dāng)，且假定的死亡函數(shù)分別為則2m?1212XXYY