通用軸承優(yōu)化設計方法及通用技術規(guī)則

1、通用軸承優(yōu)化設計方法及通用技術規(guī)則主講人：呂克歡迎各位專家蒞臨指導！,目 錄一、通用軸承優(yōu)化設計方法1.1 優(yōu)化設計概念1.2 優(yōu)化設計特點1.3 優(yōu)化設計的相關參數(shù)二、幾種常用的優(yōu)化方法2.1 基本數(shù)學概念2.2 常用的優(yōu)化方法2.2.1 二次插值法2.2.2 網(wǎng)格法2.2.3 拉格郎日乘子法2.2.4 懲罰函數(shù)法三、滾動軸承設計方法舉例3.1 園柱滾子軸承主參數(shù)的優(yōu)化設計3.2 調心滾

2、子軸承主參數(shù)的優(yōu)化設計四、通用技術規(guī)則4.1 軸承代號4.2 滾動軸承的基本尺寸4.3 滾動軸承的額定壽命4.4 滾動軸承的精度與測量4.5 軸承零件的基本尺寸和旋轉精度的公差4.6 滾動軸承的徑向游隙4.7 軸承倒角尺寸最大值4.8 滾動軸承用材料4.9 軸承配合表面和端面的表面粗糙度值4.10 軸承圖紙上應標注軸承及其零件的質量五、總結,一、通用軸承優(yōu)化設計方法 滾

3、動軸承是廣泛應用于各類機械中的基礎件。軸承的好壞直接影響到機械產品的質量，而軸承的質量是由軸承的設計、材料、加工工藝等有關的，其中軸承的設計起著決定性的作用。軸承設計與軸承壽命、可靠性等密切相關，良好的設計是保證軸承具有長壽命、高可靠性和優(yōu)良性能的重要基礎。對于不同用途的軸承如滾動軸承，滑動軸承、靜壓軸承等，優(yōu)化設計的目標函數(shù)也不相同，做為通用標準滾動軸承，其優(yōu)化設計的目標函數(shù)基本類似，大都是追求最長的疲勞壽命，既最大的額定動載荷（在滿

4、足各種約束條件的情況下），既可采用單目標函數(shù)的方法，也可采用雙目標或多目標函數(shù)的方法。對于特殊用途的軸承，則應將特殊的使用條件做為目標函數(shù)來進行優(yōu)化設計，設計出滿足用戶要求的軸承。,過去人們采用傳統(tǒng)的設計方法，憑借經(jīng)驗、圖表和類比的辦法，借助有限的人工計算次數(shù)，得到有限的設計方案，而確定出的設計結果卻不能令人滿意。而今，隨著科學技術的發(fā)展、數(shù)學規(guī)劃理論進一步完善以及計算機的普及、機械設計方法與技術水平的提高、科技成果的不斷豐富，使得軸承

5、設計領域有了突破性的飛躍。優(yōu)化設計技術、計算機輔助設計（CAD）、可靠性設計、仿真學技術等由此而產生，這些新技術的推廣、對加速軸承產品的開發(fā)與應用，改變軸承工業(yè)的面貌將會起到非常重要的作用。1.1 優(yōu)化設計概念 人們做任何事情都希望用最少的付出得到最佳的效果，這就是優(yōu)化問題。工程設計中，設計者更是力求尋求一種合理的設計參數(shù)，以使得由這組設計參數(shù)確定的設計方案即滿足各種設計要求，又使其技術經(jīng)濟指標達到最佳，即實現(xiàn)優(yōu)化設計。但是常

6、規(guī)的工程設計，由于設計手段和設計方法的限制，設計者不可能在一次設計中得到多個方案，也不可能進行多方案的分析,比較，更不可能得到最佳的設計方案。因此，人們只能在漫長的設計生產過程中，通過不斷地搜索與改進，逐步使設計方案趨于完善。 所謂優(yōu)化設計，就是借助優(yōu)化設計數(shù)值計算方法和計算機技術，求取工程問題的優(yōu)化設計方案。進行優(yōu)化設計時，首先必須將實際問題加以數(shù)學描述，形成一組由數(shù)學表達式組成的數(shù)學模型，然后選擇一種優(yōu)化數(shù)值計算方法和計算

7、機程序，在計算機上運算求解，得到一組由數(shù)學表達式組成的設計參數(shù)。這組設計參數(shù)就是設計的最優(yōu)解。1.2 優(yōu)化設計特點 優(yōu)化設計過程都是在計算機上完成的，與傳統(tǒng)的設計方法相比較，雖然采用同一個基本理論，使用同樣的設計公式，遵守同樣的設計規(guī)范，但因采用計算方法和計算工具不同，而具有如下特點。,1.2.1 設計思想是最優(yōu)設計 傳統(tǒng)的設計只是以達到規(guī)定的設計要求為止，它只是一個可行方案。而優(yōu)化設計是以達到最優(yōu)指標為目的，它是許

8、多可行方案中的最優(yōu)方案。1.2.2 設計的計算工具是計算機 由于優(yōu)化設計的工具是用計算機進行的，因此，不但可以采用較精確的數(shù)學模型和分析方法，而且使分析的范圍（變量的數(shù)目與范圍）擴大。計算速度快，設計周期短。1.2.3 設計的方法是最優(yōu)化方法 優(yōu)化設計用的方法是最優(yōu)化方法，方案的調整是計算機按照最優(yōu)化方法沿著改善案的方向自動進行。直至選出最優(yōu)方案。,1.3優(yōu)化設計的相關參數(shù)1.3.1關于設計變量的選擇1．設計變

9、量是能影響設計質量或結果的可變參數(shù)。但如果將所有能影響設計質量的參數(shù)都列為設計變量，將使問題復雜化，而且也沒有必要。因此，應對影響設計指標的所有參數(shù)進行分析、比較，從中選擇對設計質量確有顯著影響且能直接控制的獨立參數(shù)作為設計變量，其它參數(shù)則作為常量處理。在優(yōu)化設計問題中，設計變量太多，將使問題變得十分復雜；而設計變量太少，則設計的自由度少，不能求得最優(yōu)化的結果。因此，應根據(jù)具體問題綜合考慮這兩個方面，合理地選取設計變量。2.確定設計變

10、量的原則 A． 設計變量應是相互獨立的 優(yōu)化方法是在n維空間內進行的，要求設計變量是相互獨立的。,B．對目標函數(shù)影響大的 設計變量應是對目標函數(shù)影響較大的那些變量，而且設計變量序列將使目標函數(shù)有明顯的極值存在。在滿足設計要求下，應充分分析各變量的主次，減少變量的數(shù)目，以簡化優(yōu)化過程。1.3.2 關于目標函數(shù)的建立1．目標函數(shù)是以設計變量來表示設計所要追求的某種性能指標的解析表達式，通常，設計所要追求的性能指標較多

11、，顯然應以其中最重要的指標作為設計追求的目標，建立目標函數(shù)。例如：對于一般機械的設計，可以按質量或體積最小的要求建立目標函數(shù)，對于精密儀器則應按其精度最高或誤差最小的要求建立目標函數(shù)。對于滾動軸承優(yōu)化設計的目標可以按最長接觸疲勞壽命設計，最大靜承載能力設計，最小平均摩擦力矩設計，最佳潤滑設計和最小振動噪聲設計等等，一般要求進行最長接觸疲勞壽命設計也就是最大額定動載荷設計。,在優(yōu)化設計中，可將所追求的設計目標（最優(yōu)指標）用設計變量的函數(shù)形

12、式表達出來，這一過程稱為建立目標函數(shù)。即目標函數(shù)是設計中預期要達到的目標，表達為各設計變量的函數(shù)表達式：f（x）=f（x1，x2…xn）它代表設計的某項最重要的特征，例如上面所提到的質量，體積、精度以及疲勞壽命等。 目標函數(shù)是設計變量的標量函數(shù)，優(yōu)化設計的過程就是優(yōu)選設計變量使目標函數(shù)達到最優(yōu)值，或找出目標函數(shù)的最小值（或最大值）的過程。 在優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數(shù)，稱為單目標函數(shù)，當在同一設計中要提出多個目標函數(shù)時

13、，這種問題稱為多目標函數(shù)的優(yōu)化問題。在一般的機械優(yōu)化設計中，多目標函數(shù)的情況較多。目標函數(shù)愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。,對于多目標函數(shù)，可以將它們分別獨立地列出來：也可以把幾個設計目標綜合到一起，建立一個綜合的目標函數(shù)表達式，即 q為優(yōu)化設計所追求的目標數(shù)目。,,,2．選取目標函數(shù)的原則 A．所選的目標函數(shù)應能評價設計優(yōu)劣的指標 B．目標函數(shù)必須與所選的設計變量有關，而且能夠直接或間接

14、地寫成表達式； C．目標函數(shù)可以是一個，也可以是多個，應根據(jù)設計問題的性質而定。 1.3.3 關于約束條件的確定 如前所述，目標函數(shù)取決于設計變量，而在很多實際問題中設計變量的取值范圍是有限制的或必須滿足一定的條件。在優(yōu)化設計中，這種設計變量取值時的限制條件，稱為約束條件或設計約束，簡稱約束。約束形式，可能是對某個或某組設計變量的直接限制，這時稱為顯約束；也可能是對某個或某組設計變量的間接限制，這時稱為隱約束。,約束條件可

15、以用數(shù)學等式或不等式來表示。 等式約束對設計變量的約束嚴格，起著降低設計自由度的作用。等式約束可能是顯約束，也可能是隱約束，其形式為： hυ(X)=0 (υ=1,2,…P) 在機械優(yōu)化設計中不等式約束更為普遍，不等式約束形式為： gu（X）≤0 （u=1，2，…，m） 或 gu（X）≥0 （u=1，2，…，m） 1.3.4 優(yōu)化方法的選擇 通常在選擇優(yōu)化方法時

16、，首先應明確數(shù)學模型的特點。例如:問題的規(guī)模（即維數(shù)，目標函數(shù)及約束函數(shù)的數(shù)目），目標函數(shù)及約束函數(shù)性質（例如函數(shù)的非線性程度，連續(xù)性及計算時的復雜程度）以及計算精度等。這些特點是選擇優(yōu)化方法的主要依據(jù)。,選擇優(yōu)化方法時，必然要考慮它本身及其計算程序的特點，例如，該方法是否已有現(xiàn)成的程序可用，編制程序所花費的代價；程序的通用性或普遍性，即能否用它來解多種類型的問題，解題規(guī)模；使用該程序的簡便性及計算機執(zhí)行該程序需要花費的時間和費用；程序

17、的機動性；該方法的收斂速度、計算精度、穩(wěn)定性及可靠性。二、幾種常用的優(yōu)化方法 優(yōu)化方法很多，且目前已有很多成熟的方法。不管是何種方法，其關鍵總可歸納為：1）怎樣將有約束目標函數(shù)優(yōu)化變成無約束目標函數(shù)優(yōu)化。2）怎樣尋找無約束目標函數(shù)最優(yōu)點的方向。3）怎樣確定尋找無約束目標函數(shù)最優(yōu)點的步成。解決這三個問題所采用的方法不同便存在不同的優(yōu)化方法。通常所采用的方法有：二次插值法、網(wǎng)格法、拉格郎日乘子法、懲罰函數(shù)法、共額梯度法

18、等等。,2.1 基本數(shù)學概念2.1.1函數(shù)的梯度函數(shù)f(x)在給定點的梯度量是一向量，它的大小就是函數(shù)在該點的方向導數(shù)的最大值，它的方向垂直于函數(shù)過該點的等值面，且指向函數(shù)增大的方向。2.1.2極值問題的一般概念A.一元函數(shù)的極值問題定義，設函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）內有定義， x0是（a，b）內的一個點，如果存在著點x0的一個鄰域，對于這鄰域內的任何點x除了點x0外，f(x)＜f(x0)均成立，就說f(x0)是函數(shù)f(x)

19、的一個極大值；如果存在著點x0的一個鄰域，對于這鄰域內的任何一點x，除了點x0外，f(x)＞f(x0)均成立，就說f(x0)的一個極小值。函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的，一般是指在特定的某個領域成立，而在整個定義域不一定是最大或最小值。,函數(shù)f(x)的極值點和極值可通過下面步驟進行計算：1）求出導數(shù)f′(x)；2）求出f(x)的全部駐點（即求出方程f′(x)=0在所討論的區(qū)間內的全部實根）3）考慮f′(x)的符號在每個駐點

20、的左，右鄰近的情形，以便確定該駐點是否極值點，如果是極值點，可根據(jù)下面的方法判斷其為極大還是極小，然后計算其值。判斷極大極小方法：如果函數(shù)f(x)在點x0的一個鄰域內可導且f′(x)=0a)如果x取x0左側鄰近值時，f′(x)恒為正；當x取x0右側鄰近值時， f′(x)恒為負，那么函數(shù)在x0處取得極大值。,b)如果當x取x0左側鄰近值時，f′(x)恒為負，當x取x0右側鄰近值時，f′(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值

21、。B．共軛方向的基本概念 設A為一個n×n對稱矩陣，P、Q為兩個n維向量，若PTA Q=0，則稱向量P和Q為A共軛。C．設計空間及可行域 由n個設計變量可以組成一個n維的設計空間。其中滿足所有約束條件的點稱為可行設計點（簡稱可行點），實際上就是規(guī)范要求一個設計方案， 所有可行點組成的區(qū)域稱為可行域。2.2 常用的優(yōu)化方法2.2.1 二次插值法,在求解一元函數(shù)f(x)的極小點時，常常利用一個低次多項式P(x

22、)來逼近原目標函數(shù)，然后求出該多項式的極小點，并以此作為目標函數(shù)f(x)的近似極小點。 例如：設P(x)為函數(shù)F(x)的一個插值多項式，那么P(x)的極小值點必定是方程P′(x)=0的根。我們只要求出這個方程的根，再加以判斷，就可以得到函數(shù)F(x)極小值點的近似位置。,考慮問題 F(x) x1≤xmin≤x2若已經(jīng)求出x0∈（x1，x2），并且滿足F(x1)≥F(x0)，F(xiàn)(x0)≤F(x2)我們可以通過三點（

23、x1，F(xiàn)(x1)），（x0，(x0)），（x2，F(xiàn)(x2)）作一條二次拋物線P(x)來擬合函數(shù)F(x)，如上圖 即令：P(x)=a0+a1X+a2(x)2 則它應該滿足條件： P(x1)=a0+a1x1+a2(x1)2=F(x1) P(x0)=a0+a1x0+a2(x0)2=F(x0) P(x2)=a0+a1x2+a2(x2)2=F(x2)對于二次函數(shù)P(x)而言，它為拋物線

24、，其頂點的橫坐標即為最優(yōu)解。設為x，則它滿足。 所以,,,式中的系數(shù)a1和a2可由上述方程組求出。求出后代入x式中，求x，若x與x0充分接近，即如果預先給定允許誤差ε>0，而當|x0-x|<ε時，我們就把x看成是F(x)在區(qū)間[x1，x2]上的近似最優(yōu)解；否則在F(x0)與F(x)中間找出最大者，在注意保持F(x)值的“高—低—高”的前提下，縮短區(qū)間，構成新的三點，繼續(xù)進行二次插值。

25、2.2.2 網(wǎng)格法 網(wǎng)格法是一種解非線性規(guī)劃的直接法。這種方法的特點是算法簡單，直觀性強，對函數(shù)無特殊要求，應用時不需繁瑣的公式推導，計算量和計算時間隨設計變量個數(shù)的增加而急劇增加，所以適用于維數(shù)較低的問題。,,,網(wǎng)格法的基本思路是：首先估計設計變量的區(qū)域，在估計的區(qū)域范圍內劃分網(wǎng)格（各個設計變量估計區(qū)域內劃分的網(wǎng)格數(shù)可以是相等的也可以是不相等的），形成網(wǎng)格點；然后求滿足約束條件情況下網(wǎng)格點的目標函數(shù)值，并比較它們的大小，從中

26、選擇最優(yōu)值；接著在目標函數(shù)值最優(yōu)點的附近加密網(wǎng)格，再求它們的目標函數(shù)值，比較優(yōu)劣；直至網(wǎng)格點之間的間距小于設計精度為止，這時所得到的最小目標函數(shù)值的點，即為問題的最優(yōu)解。 網(wǎng)格法的具體做法是： （1）估計設計變量的區(qū)域 設函數(shù)為f(x)，x∈En 滿足約束 gj(x)≥0 j=1,…,m. 我們還假定變量的取值范圍為已知：,ai≤xi≤bi i=1, …,n（2）劃分網(wǎng)格點 首先將區(qū)間[ai

27、，bi]分成ri等分（ ）。 記 則網(wǎng)格點的始點為： 中間點： 終點： 這樣，整個設計區(qū)域內形成了R個網(wǎng)格點，,,,,,,,,,,,既 R=（r1+1）(r2+1)……(rn+1)（3）加密網(wǎng)格 對R個網(wǎng)格點，逐個計算檢查，看是否滿足約束條件gj(x)≥0，（j=1,…,m），對

28、滿足gj(x(k))≥0， （j=1,…,m）的點x(k)再比較f(x(k))，從中找出最小值對應的點，設為 x(t)，如果對于事先給定的精度ε，不滿足hi≤ε，我們再在 x(t)附近取小區(qū)域，再進行分割。 設 ，則下一次考慮 區(qū)間為： 在新的區(qū)域 ai≤xi≤bi i=1, …,n 重復以上所進行的過程，直到hi≤ε為止。,,,,,2.2.3 拉格朗日乘子法 拉

29、格朗日乘子法對于等式約束條件下和不等式約束條件下多變量函數(shù)的尋優(yōu)都可使用。1．等式約束條件下拉格朗日乘子法的計算方法A．等式約束時極值存在的必要條件對于二元函數(shù)來說，設目標函數(shù)為f(x1，x2)，等式約束為：g(x1，x2)=0。在無約束條件時，極值點存在的必要條件為： 即 （2-1）當有等式約束時，除了以上的關系式仍成立外，還必須滿足

30、 （2-2）,,,,,這就是說，在等式約束條件下，使f（x)為極小值的dx1 與dx2已不能任意選取，必須滿足式（2—2）。由（2—1）及式（2—2）可得 （2-3） 即

31、 （2-4）這就是在等式約束下使目標函數(shù)f為極小的必要條件。,,,B.拉格郎日乘子法的計算方法式（2—4）可改寫為： （2-5） 令此比值等于一個可正可負的常數(shù)λ： （2-6）則λ即稱為拉格朗日待定乘數(shù)，或簡稱為拉格朗日乘子。于是由式（2-6），連同g(x1,x

32、2)=0 得： （2-7）,,,,解此聯(lián)立方程式可得x1*, x2*及λ*，即求出極值點。方程組（2—7）相當于求解一個無約束的函數(shù)L=f-λg :L（x1,x2, λ）=f(x1,x2)- λg(x1,x2) (2—8) 的極值點。此函數(shù)極值點存在的必要條件為： （2-9）此式（2—7）的

33、結果。這個新定義的函數(shù)L稱為拉格朗日函數(shù)。若將式（2—7）代入式（2—1）,得： （2-10）,,,這表明：在極值點附近，λ為目標函數(shù)f隨約束條件g的微變化而變化的比率。綜上所述，通過應用拉格朗日乘子，可使求等式約束條件下函數(shù)f的極小點，成為求拉格朗日函數(shù)L的駐點。這種引進待定乘子λ，將有等式約束的尋優(yōu)問題轉

34、化為無約束的尋優(yōu)問題的做法，稱為拉格朗日乘子法。例：f(X)=60-10x1-4x2+x12+x22-x1x2,等式約束為g(X)=x1+x2-8=0，試用拉格朗日乘子法求極小。令L=f-λg=60-10x1-4x2+x12+x22-x1x2-λ(x1+x2-8)(2—11)

35、 （2-12）,,解此聯(lián)立方程組，得：x1*=5，x2*=3，λ*=-3，f*=-17以上是用拉格朗日乘子法解有等式約束的尋優(yōu)問題。下面講一下用拉格朗日乘子法解不等式約束的尋優(yōu)問題。2．不等式約束條件下拉格朗日乘子法的計算方法A．拉格朗日乘子法的計算方法拉格朗日乘子法不僅可以用于解具有等式約束的非線性規(guī)則問題，而且也可以用于解具有不等式約束的非線性規(guī)劃問題。對于不等式約束條件，可設法引入松馳變量，使不等式變?yōu)榈仁?。然后按等?/p>

36、約束條件下拉格朗日乘子法的計算方法求解。例如，若不等式約束為：g(X)=ax1+bx2+c≤0 (2—13)我們引入松馳變量x3。由于在非線性規(guī)劃中，沒有變量為非負的約束，即不要求xi≥0,(其中i=1,…，n)。因此，為保證不等式成立，引入的松馳變量均用平方項，以保證該引入項為非負的。由此可得：,g(X)=ax1+bx2+c+x32=0 (2—14)這樣就可把不等式約束變換為等式約束。然后，再用拉格朗日乘子法求解。例

37、如，約束條件為：求目標函數(shù)的最小值，即S=f(X)=2x12-2x1x2+2x22-6x1=min （2—15）第一步：加松馳變量x3、x4，使不等式約束變換為等式約束：g1(X)=3x1+4x2+x32-6=0 (2—16)g2 (X)=-x1+4x2+x42-2=0 (2—17),,第二步：引入拉格朗日函數(shù)L(X,λ)=f(X)-λ·g(X) =(2x12-2x1

38、x2+2x22-6x1)-λ1(3x1+4x2+x32-6)-λ2(-x1+4x2+x42-2) (2—18)式（2—18）中，有6個未知變量X1、X2、X3、X4、λ1、λ2，若用求導的辦法求極值，可有6個偏導數(shù)方程式，然后求出這6個未知數(shù)。這樣計算是比較麻繁的。第三步：引入新函數(shù)Z,,在計算時先給定一個初始點X（0），然后用計算機迭代計算，可求出最優(yōu)解為：x1=1.4594 x2=0.4054 x3=0

39、 x4=1.3557λ1=-0.3245 λ2=0 S=-5.3513=min,2.3.4 懲罰函數(shù)法 懲罰函數(shù)法是一種使用很廣泛、很有效的間接解法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問題 中的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權轉化后，和原目標函數(shù)結合成新的目標函數(shù)——懲罰函數(shù),,,求解該新目標函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。為此按一定的法則改變加權因子r1和r2的值，構成一系列的無約束優(yōu)化問題，求得一系列

40、的無約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。因此懲罰函數(shù)法又稱序列無約束極小化方法。 式中的 和 稱為加權轉化項。根據(jù)它們在懲罰函數(shù)中的作用，又分別稱為障礙項和懲罰項。障礙項的作用是當?shù)c在可行域內時，在迭代過程中將阻止迭代點越出可行域，懲罰項的作用是當?shù)c在非可行域或不滿足等式約束條件時，在迭代過程中將迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面。,,,根據(jù)迭代過程是否在可行域內進行

41、，懲罰函數(shù)法又可分為內點懲罰函數(shù)法，外點懲罰函數(shù)法和混合懲罰函數(shù)法三種。下面主要講內點懲罰函數(shù)法。 內點懲罰函數(shù)法簡稱內點法，這種方法將新目標函數(shù)定義于可行域內，序列迭代點在可行域內逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點。內點法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。 對于只具有不等式約束的優(yōu)化問題 轉化后的懲罰函數(shù)形式為,,,或,,式中 r ——懲罰因子，它是由大到小且趨近于0的數(shù)列，即r0>r1>r2>…→

42、0,,,或,——障礙項,由于內點法的迭代過程在可行域內進行，障礙項的作用是阻止迭代點越出可行域。由障礙項的函數(shù)形式可知，當?shù)c靠近某一約束邊界時，其值趨近于0。顯然只有當懲罰因子r→0，才能求得在約束邊界上的最優(yōu)解。 下面介紹內點法中初始點x0、懲罰因子的初值r0及其縮減系數(shù)C等重要參數(shù)的選取和收斂條件的確定等問題。,（1）初始點x0的選取 使用內點法時，初始點x0應選擇一個離約束邊界較遠的可行點。若x0太靠近某一約束邊界

43、，構造的懲罰函數(shù)可能由于障礙項的值很大而變得畸形，使求解無約束優(yōu)化問題發(fā)生困難。程序設計時，一般都考慮使程序具有人工輸入和計算機自動生成可行初始點的兩種功能，由使用者選用。計算機自動生成可行初始點的常用方法是利用隨機數(shù)生成設計點。（2）懲罰因子初值r0的選取 懲罰因子的初值r0應適當，否則會影響迭代計算的正常進行。一般來說r0太大，將增加迭代次數(shù)；r0太小，會使懲罰函數(shù)的性態(tài)變壞，甚至難以收斂到極值點。由于函數(shù)的多樣化，使得r

44、0的取值相當困難，目前還無一定的有效方法。對于不同的問題，都要經(jīng)過多次試算，,才能決定一個適當?shù)膔0 。以下的方法可作為試算取值的參考。 ① 取r0=1，根據(jù)試算的結果，再決定增加或減小的值。 ② 按經(jīng)驗公式計算r0值。這樣選取的r0，可以使懲罰函數(shù)中的障礙項和原目標函數(shù)的值大致相等，不會因障礙項的值太大而起支配作用，也不會因障礙項的值太小而被忽略掉。,,（3）懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取 在構造序列懲罰函數(shù)

45、時，懲罰因子r是一個逐次遞減到0的數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關系為 k=1,2,… 式中的c稱為懲罰因子的縮減系數(shù)，c為小于1的正數(shù)。一般的看法是，c值的大小在迭代過程中不起決定性作用，通常的取值范圍在0.1∽0.7之間。（4）收斂條件 內點法的收斂條件為,,,,,前式說明相鄰兩次迭代的懲罰函數(shù)的值相對變化量充分小，后式說明相鄰兩次迭代的無約束極小點已充分接近。滿足收斂條件的無約束極小點x

46、*(rk)已逼近原問題的約束最優(yōu)點，迭代終止。原約束問題的最優(yōu)解為 x*=x*(rk), f(x*)=f(x*( rk)) 三、滾動軸承設計方法舉例3.1 園柱滾子軸承主參數(shù)的優(yōu)化設計3.1.1目標函數(shù)的建立 對于一般通用圓柱滾子軸承設計取最大額定 動載荷Cr為目標函數(shù)（即保證疲勞壽命最長）。,,式中：fc是與Dwe/Dpw有關的系數(shù)，按標準查找。3.1.2 主參數(shù)的選擇 考慮到可分離型軸承的安裝和互

47、換性要求，將Fw（或Ew）取成標準值。 因為，Dpw=Fw+Dwe (或Dpw=Ew-Dwe)  由上式可以看出目標函數(shù)只有三個自變量Z、Dwe和 Lwe3.1.3 約束條件的確定 根據(jù)圓柱滾子軸承的具體情況，約束均為不 等約束。即Gi(x≥0)確定其約束條件如下： 1.滾子長度的約束條件 滾子長度L不應大于軸承寬度B，通常取一定 的系數(shù)XSL<1乘以軸承寬度B作為約束條件。即

48、,,,根據(jù)經(jīng)驗XSL取值如下： 當D≤60時： XSL=0.60 200>D>60時： XSL=0.73 D≥200時： XSL=0.75 標準規(guī)定滾子直徑都不大于滾子長度即: 2.滾子直徑的約束條件 滾子直徑的取)值范圍應當這樣考慮：保證滾子中心圓直徑不小于軸承的平均直徑，但又不至于太大，致使軸承外圈壁厚小于設定值。（D+d）/2+BBK-(FW+ )≥0

49、 FW+Dwe-(D+d)/2≥0 BBK為滾子中心圓外移量。FW為滾子內復圓直徑。Ew為滾子外復圓直徑.,,,3.滾子個數(shù)的約束條件 為使額定動載荷最大，滾子數(shù)目越多越好，但滾子太多會使保持架過梁寬度太窄，為了不出現(xiàn)這種情況必須有一定約束或限制，即 π×[Fw+1.5×Dwe]-1.3×Z×Dwe≥0 1.3×Z×

50、Dwe-π×(D+d)/2≥03.1.4 設計問題的數(shù)學模型為 求設計變量：X=[X1，X2，X3]T=[Z，Dwe, Lwe]T 使:minf(x)=-[fc×Lwe7/9× Z3/4×Dwe29/27] 成立，并滿足約束條件 GX（i）≥0, I=1、2、3、4、5、63.1.5 優(yōu)化方法 根據(jù)目標函數(shù)的形式和約束條件，采用罰函數(shù)法將有約束極值問題轉化為無約,束極

51、值問題。本程序采用罰函數(shù)法，SUMT內點法）1.構造罰函數(shù)的形式如下 式中 Φ(x)-----障礙函數(shù) f(x)-----目標函數(shù) R--------障礙因子2.懲罰因子R初值的確定3.求解方法 設計采用共軛方向法確定搜索方向，用一維搜索的二次插值法，求其最優(yōu)點。,,,所謂共軛方向法，即在一個區(qū)域內，沿某一方向搜索求其最優(yōu)點，整個優(yōu)化的相對精度取為0.001。,,,,

52、,輸入數(shù)據(jù)TYPE、di、D、Fw、BBK等,,將目標函數(shù)及約束條件轉換成罰函數(shù)形式,,優(yōu)化設計,,,打印優(yōu)化結果Z、Dwe和 Lwe,,用網(wǎng)格法對優(yōu)化結果進一步圓整處理,,打印最終優(yōu)化結果Z、Dwe和 Lwe 、Cr,,,開始,判斷是否收斂，精度是否滿足,,,,否,是,結束,2.7 優(yōu)化程序框圖,3.2 調心球軸承主參數(shù)優(yōu)化設計3.2.1數(shù)學模型的建立1. 目標函數(shù)和設計變量調心球軸承在正常的工況條件下，其失效形式是零件接觸表面

53、的疲勞剝落，因此可以把調心球軸承的疲勞壽命作為本次設計的首選技術指標。滾動軸承疲勞壽命計算公式為：L10：軸承基本額定壽命Cr：軸承基本額定動載荷P：軸承的當量載荷當使用條件一定時，Cr越大，軸承疲勞壽命越長，因此把額定動載荷Cr最大作為本次優(yōu)化設計的目標函數(shù)。國家標準GB/T 6391-2003規(guī)定：,,當球徑Dw≤25.4mm時　　Cr=bm·fc(i·Cosα)0.7·Z12/3·

54、;Dw1.8　?。ǎ危┊斍驈紻w＞25.4mm時　 Cr=3.647·bm·fc(i·Cosα)0.7·Z12/3·Dw1.4 Ｎ）式中bm為材料系數(shù)，Dw為鋼球直徑，Z1為單列鋼球個數(shù)，i為鋼球列數(shù)，調心球軸承為雙列鋼球取i=2，α為軸承接觸角 其中G為兩列鋼球中心的距離，he為外圈最小壁厚，D為軸承外徑。fc是與Dw·Cosa/Dpw有關的系數(shù)

55、，bm、fc可按GB/T 6391-2003查表得到。,,Dpw為軸承節(jié)圓直徑。 從以上分析可以看出，軸承額定動載荷與下列獨立參數(shù)有關：鋼球直徑DW，單列鋼球個數(shù)Z，鋼球列數(shù)i，外圈最小壁厚he及兩列鋼球中心間的距離G。因鋼球列數(shù)i=2為常量，因此額定動載荷是Dw，Z，G和he的函數(shù)。為了使軸承獲得最高的額定動載荷，最優(yōu)的綜合性能，就必須對這四個參數(shù)進行有機的選值組合，這就構成了一個多參數(shù)優(yōu)化問題，而這些主參數(shù)，還要受到多種軸承

56、約束條件的限制，給優(yōu)化求解增加了難度。 綜上所述，調心球軸承的主參數(shù)優(yōu)化設計以歸結為下列問題。,參數(shù)變量：目標函數(shù)：DW≤25.4mm時DW＞25.4mm時：,,,,,2. 約束條件根據(jù)調心球軸承設計的一般原則和傳統(tǒng)做法，有關性能方面的約束均轉換為幾何尺寸的約束，考慮到優(yōu)化方法的需要，所有約束條件均寫成：gi(X)≥0（i=1,2……n）的形式。A. 球徑的約束DW的取值范圍可表示為：即：g1(X)=Kw

57、max(D-d)-X1≥0 g2(X)=X1-Kwmin(D-d)≥0B. 球數(shù)約束即,,,C. 外圈最小壁厚約束： 外圈最小壁厚不小于0.07(D-d)即： g5(X)=X4-0.07(D-d)≥0D. 中心徑約束： Kmin(D+d)≤Dpw≤Kmax(D+d) 即g6(X)=Dpw-Kmin(D+d)≥0 g7(X)=Kmax(D+d)-Dpw≥0E. 保持架最小梁

58、寬的約束 對于塑料保持架調心球軸承，同一系列鋼球之間的保持架最小梁寬Sc和相鄰兩列鋼球之間的保持架最小梁寬Scp必須滿足：Sc≥Scp≥KcDW即：gs(X)=Sc-Scp≥0 g9(X)=Scp-KCDw≥0,3.優(yōu)化設計方法對于多參數(shù)不等式的約束優(yōu)化問題的求解方法，目前已有多種，如簡單網(wǎng)格法、梯度法、變尺度法、線性逼近法、罰函數(shù)法等。這些方法各有優(yōu)缺點。具體到調心球軸承優(yōu)化問題，本設計推薦采用綜合約束函數(shù)雙下降

59、法比較有效。此方法為變尺度法的一種。它首先將各種約束（等式與不等式）構造成一個綜合約束函數(shù)，只要參數(shù)變量滿足等式或不等式約束條件，綜合約束函數(shù)就能達到最小值零。采用綜合約束函數(shù)雙下降法，首先將目標函數(shù)F（X）轉化成f(X)=1/F（X）的形式，把求最大值問題變成最小值問題，即尋找一組最優(yōu)解向量X=（X1，X2，X3，X4）T使f(X)達到最小。用G表示目標函數(shù)f(X)的可行域，En表示n維歐氏空間，X表示n維歐氏空間中的一點，則f(X

60、)滿足約束條件的解向量的集合可表示為：G={X∣X∈En,gi(X)≥0,i=1，2，3……n}構造一個綜合約束函數(shù)S（X）,,因為當gi(X) ≥0,i=1，2，……n時，S（X）=0這時可行域又可表示為：G={X∣X∈En,S(X)=0}可尋找最優(yōu)解向量的過程如下：首先確定初始點X（0），如X（0）不在可行域內，則對綜合約束數(shù)S（X）按負梯度方向以步長t0進行疊代，得到新點 X（1），如新點X（1）仍不在可行域內，繼續(xù)對

61、S（X）以負梯度方向進行疊代，直到新點落到可行域內。當向量X落在可行域內后則對目標函數(shù) 以負梯度方向進行疊代，尋找最優(yōu)解，,,當綜合約束函數(shù)S(X)＜ε1(ε1=10-8)且： 時收斂。 這時主參數(shù)便可確定。主參數(shù)確定之后要進行結構及結構參數(shù)的研究，全部參數(shù)都設計完之后，按照標準進行相關尺寸的標注。四、通用

62、技術規(guī)則 通用技術規(guī)則按照國標GB/T307.3-1996規(guī)定?，F(xiàn)在講一下在設計中經(jīng)常用到的規(guī)則。 首先設計人員應力求使設計的軸承符合“體積小、重量輕、結構簡單、使用方便、質量好、性能優(yōu)”的原則。設計方法遵循下列規(guī)定：,,4.1 軸承代號應符合GB/T 272及JB/T 2974的標準規(guī)定。4.2 滾動軸承的基本尺寸應符合GB/T273.1、GB/T273.2、GB/T273.3的標準規(guī)定。當用戶選用標準規(guī)定之外的軸承時

63、，生產單位可與用戶協(xié)商，盡量選用標準軸承，若確需非標準軸承，生產單位可根據(jù)用戶的要求進行設計。4.3 軸承具有最長的額定壽命滾動軸承的額定壽命應符合GB/T 6391-2003的標準規(guī)定。額定壽命基本計算公式為：,,L10—滾動軸承額定壽命（106r）C—滾動軸承基本額定動載荷P—滾動軸承當量動載荷式中：ε為壽命指數(shù)，對于球軸承ε=3，對于滾子軸承ε=10/3；疲勞壽命的基本公式表明：球和滾子軸承的額定壽命分別與軸承額定動載

64、荷的3或10/3次方成正比。 各類軸承額定動載荷計算公式如下：,4.4 軸承零件的尺寸及公差最大限度地通用化和標準化。由于軸承生產是專業(yè)化大批量的生產，因此對軸承零件的通用化和標準化提出了特別嚴格的要求，軸承設計者必須具有高度的標準化概念，所設計的軸承必須符合相應的國家標、行業(yè)標準和標委會技術文件。如果違反了通用化和標準化的原則，必然會增加軸承零件及工、卡量具的種類，給生產組織工作帶一系列的困難。當設計的軸承與標準的或已生產的軸承

65、的結構不同時，應遵守下列原則：（1）設計新軸承時，若與其相應的基本類型軸承尚未設計，則應將此種軸承的基本類型同時設計出來，或者在設計過程中予以充分考慮。（2）盡可能將設計的新軸承零件與相應的基本類型軸承零件通用。,4.5 軸承的基本尺寸和旋轉精度的公差，應符合GB/T 307.1-1994、GB/T 367.4-2002的規(guī)定，并標注在圖紙上。同一品種不同規(guī)格的產品，允許共用一套圖紙，其技術要求可用文字或列表的形式給出，以下同。4.6

66、 軸承倒角尺寸最大值應符合GB/T 274-2000的規(guī)定。4.7 軸承的徑向游隙，根據(jù)軸承的使用條件，GB/T 4604-1993標準的規(guī)定，并標在產品圖上。 游隙是滾動軸承的重要質量指標，也是軸承應用中的重要參數(shù)。在實際使用中游隙將影響到軸承中的載荷分布、振動、噪聲、摩擦力矩和壽命。因此需根據(jù)使用條件來選用合適游隙的軸承。 滾動軸承徑向游隙其分五組：2組、0組、3組、4組、5組。游隙值依次由小到大。其中0組徑向游隙為

67、標準游隙應優(yōu)先采用。,4.8 滾動軸承用材料滾動軸承的性能和可靠性，在很大程度上取決于軸承零件的材料和熱處理工藝, 特別是用于特殊工況的軸承，其材料的選擇和熱處理工藝的制定更是尤為重要。因此制造滾動軸承時選擇材料是否適當對其使用性能有很大影響。要求制造滾動軸承用鋼應具備下列性能： 1．有較高的接觸疲勞強度滾動軸承運轉時，滾動體在軸承內、外圈的滾道間滾動，其接觸部分承受周期性交變載荷，因此，要求滾動軸承用鋼，應具有較高的接觸疲勞強度

68、。 2. 有良好的耐磨性滾動軸承工作時，除了發(fā)生滾動磨擦外，同時也發(fā)生滑動磨擦，如果軸承鋼的耐磨性差，滾動軸承便會因磨損而過早地喪失精度或因旋轉精度下降而使軸承振動增加、壽命降低。因此，要求軸承鋼應具有良好的耐磨性。,3．有較高的彈性極限 由于滾動體與套圈滾道之間接觸面積很小，軸承在載荷作用下，特別是在較大載荷作用下，接觸表面接觸壓力很大。為了防止在高接觸壓力下發(fā)生過大的塑性變形，因此要求軸承鋼應具有較高的彈性極限。4．有適

69、宜的硬度 硬度對接觸疲勞強度、耐磨性、彈性極限，都有直接的關系，因此，滾動軸承的硬度也直接影響著滾動軸承的壽命。5．有一定的韌性 很多滾動軸承在使用中都會承受一定的沖擊載荷，因此要求軸承鋼具有一定的韌性，以保證軸承不因沖擊而破壞。,6．有良好的尺寸穩(wěn)定性 滾動軸承是精密的機械零件，其精密度是以微米（µm）來計量的。在長期的保管和使用中，因內在組織發(fā)生變化而引起尺寸的變化，會使軸承喪失精度，因此，為保證軸承的