【資料下載】圖論的基本思想及方法

1、圖論的基本思想及方法任愷圖論的基本思想及方法圖論的基本思想及方法湖南省長沙市長郡中學(xué)任愷【摘要】【摘要】文章著眼于圖論基本思想及方法的討論，不涉及高深的圖論算文章著眼于圖論基本思想及方法的討論，不涉及高深的圖論算法。法。文章主要從兩方面闡述圖論的基本思想：一是合理選擇圖論模文章主要從兩方面闡述圖論的基本思想：一是合理選擇圖論模型；二是如何深入挖掘問題本質(zhì)，充分利用模型的特性。同時還歸型；二是如何深入挖掘問題本質(zhì)，充分利用模型的特性。同時

2、還歸納了一些解決問題的普適性方法。納了一些解決問題的普適性方法?！娟P(guān)鍵字】【關(guān)鍵字】基本思想、圖論模型、問題本質(zhì)、定義法、分析法、綜合法基本思想、圖論模型、問題本質(zhì)、定義法、分析法、綜合法【正文】【正文】一、引論一、引論圖是用點(diǎn)和邊來描述事物和事物之間的關(guān)系，是對實(shí)際問題的一種抽象。之所以用圖來解決問題，是因?yàn)閳D能夠把紛雜的信息變得有序、直觀、清晰。因而圖論中最基本的思想就是搭建合適的模型，深刻挖掘問題的本質(zhì)，分析和利用圖論模型各種性質(zhì)

3、，從而到達(dá)解決問題的目的。下面著重從模型的選擇和發(fā)掘利用圖的性質(zhì)來闡述圖的基本思想和運(yùn)用方法。二、合理選擇圖論模型二、合理選擇圖論模型在解決一道實(shí)際問題時，往往先將實(shí)際問題抽象成一個數(shù)學(xué)模型，然后在圖論的基本思想及方法任愷2.1以網(wǎng)絡(luò)流為模型以網(wǎng)絡(luò)流為模型分析一下樣例，很快聯(lián)想到經(jīng)典的網(wǎng)絡(luò)流模型：最高點(diǎn)vh是網(wǎng)絡(luò)的源點(diǎn)，而最低點(diǎn)vl是網(wǎng)絡(luò)的匯點(diǎn)。題目中的路徑是網(wǎng)絡(luò)中從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的流。要求用路徑覆蓋圖中所有的邊，且路徑數(shù)最少，就是要求網(wǎng)絡(luò)

4、中每條邊的流量大于等于1，并且從源點(diǎn)流出的總流量最小。因此解決這個問題只需要建立一個有容量下界的網(wǎng)絡(luò)，然后求這個網(wǎng)絡(luò)的最小可行流。大致做法：首先求出可行流：枚舉每條流量為0的邊，設(shè)為(ij)。找到一條從s到i的路徑和一條從j到t的路徑。對“s–i–j–t”路徑上的每一條邊流量加1，這樣既滿足了每個點(diǎn)的流量平衡，又滿足了邊(ij)的容量下界。然后在可行流上進(jìn)行修改，從匯點(diǎn)到源點(diǎn)求一個最大可行反向流，就得到了一個最小可行流。分析算法二的復(fù)雜

5、度：求可行流時，可以先預(yù)處理源點(diǎn)和匯點(diǎn)到每個頂點(diǎn)的路徑，因此構(gòu)造可行流的時間復(fù)雜度為O(|E||V|)。求最大流時，可以用樸素的增廣路算法，復(fù)雜度為O(|E|C)，C是進(jìn)行增廣的次數(shù)。因?yàn)槭瞧矫鎴D，根據(jù)歐拉公式有O(|E|)=O(|V|)，而反向流的流量最大為O(|E|)，所以總的復(fù)雜度為O(|V|2)=O(n2)。此算法實(shí)際效率很高，能夠迅速的通過測試數(shù)據(jù)。但是，這種模型并沒有很好的挖掘原題中平面圖的性質(zhì)，所以改進(jìn)的余地應(yīng)該很大。2.

6、2以偏序集為模型以偏序集為模型題目中強(qiáng)調(diào)了每個點(diǎn)都有不同的橫縱坐標(biāo)，圖是有向無環(huán)平面圖。而且圖中兩點(diǎn)之間的有向邊似乎反映著一種元素的比較關(guān)系。是否存在更好的模型描述此圖呢？為了更好的揭示問題的本質(zhì)，下面引入偏序集。2.2.1偏序集的相關(guān)概念偏序集的相關(guān)概念偏序集是一個集合X和一個二元關(guān)系R，符合下列特性：a)對于X中的所有的x，有xRx，即R是自反的自反的。b)對于X中的所有的x和y，只要有xRy且x≠y，就有，即R是反yRx對稱的對稱