三、中值定理

1、一.不用求出函數(shù)不用求出函數(shù)的導(dǎo)的導(dǎo))4)(3)(2)(1()(?????xxxxxf數(shù)，說明方程數(shù)，說明方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出他們所在的區(qū)有幾個(gè)實(shí)根，并指出他們所在的區(qū)0)(??xf間。間。解:由于由于在[1，2]上連續(xù)，在（上連續(xù)，在（1，2）內(nèi)可導(dǎo)，且）內(nèi)可導(dǎo)，且??xf，所以由羅爾中值，所以由羅爾中值????21ff?定理可知，定理可知，使，同理，同理??211?????0?xf??322???使，??02??f使。顯然它們都是

2、方程。顯然它們都是方程的??433?????03??f??0?xf根，注意到方程根，注意到方程??0?xf為三次方程，它只能有三個(gè)根（包括實(shí)根、復(fù)根）為三次方程，它只能有三個(gè)根（包括實(shí)根、復(fù)根），現(xiàn)在已，現(xiàn)在已發(fā)現(xiàn)它的三個(gè)實(shí)根，故它們發(fā)現(xiàn)它的三個(gè)實(shí)根，故它們也是方程也是方程的全部根。的全部根。??0?xf二.若方程若方程有一個(gè)正根有一個(gè)正根01110??????xaxaxannn?0xx?，驗(yàn)證方程，驗(yàn)證方程必有一個(gè)小于必有一個(gè)小于0)

3、1(12110????????nnnaxnanxa?0x的正根。的正根。證明：證明：設(shè)由????011100xxxaxaxaxFnnn????????于在上連續(xù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且??xF??00x??00x根據(jù)羅爾定理，根據(jù)羅爾定理，使得使得????000??xFF??00x???即顯然顯然??0??F??0112110????????nnnanana????就是方程就是方程七.證明：若函數(shù)證明：若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式內(nèi)滿

4、足關(guān)系式)(xf)(????，且，且f（0）=，則，則。)()(xfxf??1xexf?)(證明：作函數(shù)證明：作函數(shù)????????????xexfxx???????????????????022?????xxxxxexfxfeeexfxfex?故（常數(shù)），特別????Cexfxx???????111000???ef?得：C=1，所以1，即：.???xexf??xexf?八.設(shè)在[a，b]上可導(dǎo)，上可導(dǎo)，（），證明存在，證明存在使)(x

5、f0?a)(ba??得).()()]()([222??fabafbf????證法證法1：設(shè)：設(shè)????????????222xfabafbfxxF????由????????????afabafbfaaF222????????22afbbfa??????????????????22222afbbfabfabafbfbbF??????得：。????bFaF?又在[a，b]上可導(dǎo)，所以上可導(dǎo)，所以在[a，b]上可導(dǎo)，因此上可導(dǎo)，因此??xf?