理論力學-welcometospacephysicsdivisionof

1、理論力學,2015.9修改稿,教材課本及講授內(nèi)容,力學與理論力學（下冊）中國科學技術大學國家基礎科學人才培養(yǎng)基地物理學叢書作者：秦敢，向守平科學出版社，2008其中，上冊以力學為主，下冊以分析力學為主，將力學和理論力學的教學內(nèi)容統(tǒng)一合理地安排。為銜接課程內(nèi)容，首先回顧一下已學過的力學內(nèi)容。,參考書,金尚年等，理論力學，高等教育出版社周衍柏，理論力學教程，高等教育出版社陳世民，理論力學簡明教程，高等教育出版社強元棨(qǐ)

2、，經(jīng)典力學(上下)，科學出版社沈惠川，經(jīng)典力學，科大出版社李書民，經(jīng)典力學概論，科大出版社,力學中已學的內(nèi)容概要,質(zhì)點運動學（觀測并記錄質(zhì)點的運動）質(zhì)點的位置、速度、加速度，軌跡質(zhì)點動力學（找出運動的規(guī)律和原因）質(zhì)點的受力，由初始位置和速度確定之后的運動質(zhì)點系力學（應用于多個質(zhì)點的體系）質(zhì)點系，多個質(zhì)點體系的守恒量非慣性參考系，平動和轉動（牛頓力學不適用的參考系中的處理）剛體的平面運動（剛體是特殊的質(zhì)點組）角速度，角

3、動量，轉動動能一些應用（有心力場，碰撞，振動等）,質(zhì)點運動學質(zhì)點的模型 質(zhì)點是具有一定質(zhì)量的但在空間上只是一個點的理想模型。運用質(zhì)點模型來研究現(xiàn)實中的物體運動，在很多情況下是有效的，也是十分便利的。質(zhì)點運動的描述：位移和路程：質(zhì)點的位移是質(zhì)點的起點連接到終點的矢量，而路程是質(zhì)點所經(jīng)歷的軌跡長度。路程是曲線的總長，位移的大小是直線距離，總是不大于路程的。參考系：質(zhì)點運動時，與其他物體之間的相對位置關系會產(chǎn)生變化，建立參考系

4、以更好描述質(zhì)點的運動。位置矢量：常用參考系原點到質(zhì)點位置的位移矢量來描述質(zhì)點的位置。,力學基礎內(nèi)容（回顧）,質(zhì)點運動學質(zhì)點運動的描述：位置矢量是時間的函數(shù)，通過求導可得速度、加速度隨時間的變化已知加速度通過積分速度，對速度積分求質(zhì)點位置運動軌跡（消去時間 t，得空間曲線） 若已知位置函數(shù)關系 r(t) ，可以通過消去時間 t 得到質(zhì)點運動軌跡曲線。,力學基礎內(nèi)容（回顧）,質(zhì)點運動學坐標系：用數(shù)學上的坐標函數(shù)描

5、述空間點的位置直角坐標系（x,y,z）柱坐標系 (r,j,z) （極坐標系）(r,q)球坐標系 (r, q, j)其他正交曲線坐標系自然坐標系,力學基礎內(nèi)容（回顧）,質(zhì)點動力學牛頓三定律從分析受力，來計算加速度、速度、位置隨時間的變化（已知初始位置，初始速度）牛頓三定律的深入探討，哪個更基本？慣性系。力的定義。慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量。對于粒子與場的作用，作用力與反作用力的關系。相對論情況下，第二定律成立的形式。

6、,力學基礎內(nèi)容（重溫）,質(zhì)點系力學內(nèi)力和外力動量和角動量動能和勢能質(zhì)點系的質(zhì)心，質(zhì)心系動量守恒和角動量守恒及其成立的條件機械能守恒及其成立的條件非慣性參考系，非慣性力平動參考系轉動參考系，科里奧利力，離心力,力學基礎內(nèi)容（重溫）,剛體力學剛體模型角速度和角加速度轉動慣量轉動的角動量和轉動動能力矩剛體的平面運動對稱軸剛體的定軸轉動,力學基礎內(nèi)容（重溫）,其他一些應用課題,有心力場（萬有引力和行星運動，帶電粒

7、子散射）碰撞（兩體碰撞，散射截面）振動（阻尼振動，受迫振動，多維小振動）帶電粒子的運動狹義相對論非線性力學流體力學連續(xù)介質(zhì)體系的力學,分析力學主要內(nèi)容,約束與虛功原理拉格朗日力學達朗貝爾原理，拉格朗日方程，泛函變分和哈密頓原理，運動積分、對稱性和守恒定律哈密頓力學正則方程，正則變換，泊松括號，哈密頓-雅克比方程剛體的運動學和動力學,分析力學的基礎,以牛頓三定律的經(jīng)典力學為理論基礎應用數(shù)學方法建立完整的理論體系

8、得到一些原理性的結果有些結果推廣到非經(jīng)典的領域（如相對論和量子力學）更加自然,分析力學與牛頓力學特點比較,第1次課,習題 1,1.1 考慮初始時以20m/s速度并與水平面成30°拋出的物體的運動過程。分別用牛頓力學方法、機械能守恒方法計算物體在最高點時的速度。取重力加速度為10m/s2。1.2 質(zhì)量m的¼圓弧面形的滑塊靜止于光滑水平面上，一個質(zhì)量為m/3的小球以v0速度沖上滑塊然后又滑下，求兩者的末速度。思考若用

9、矢量力學求解為何困難?；瑝K的高和長均為 v02/g 。,直角坐標系,坐標：(x,y,z)基矢量 e ：用于表示矢量的方向，其大小為1，即單位長度。直角坐標系的基矢量是恒定的。,柱坐標系,坐標：,柱坐標系各項加速度在不同情況下顯現(xiàn),除了z向加速度 ，徑向加速度 j 保持不變，沿R方向加速向心加速度R， 保持不變，切向速度的方向改變角加速度z，R保持不變，角速度變化，同時切向速率變化科里奧利加速度

10、 保持不變。當 不變，R變化使得切向速度改變；當 不變，j 變化使得徑向速度改變。,,球坐標系,坐標,球坐標系,加速度的表達式復雜，以至于實用性差。在地球上，er 是上方，eq 是南方，ej 是東方。,一般的正交曲線坐標系,坐標：,稱為拉梅系數(shù)。曲線長度滿足,一般的正交曲線坐標系的面元、體元,自然坐標系,自然坐標系不是數(shù)學上嚴謹?shù)淖鴺讼?，但符合人們的自身體驗，因而應用于日常生活中十分容易理解。將運動軌跡理解為質(zhì)點的

11、運動軌道，用軌道上的路程確定位置。力(矢量)分為是改變速率的部分(沿速度方向)和改變方向的部分(垂直于速度方向)。曲率半徑 r 的倒數(shù)稱為曲率。,第2次課,2.1 推導一個質(zhì)點在球坐標系中的加速度表達式。2.2 求習題1.1中的質(zhì)點運動軌跡（拋物線）在射出點和最高點處的曲率半徑。如果單單從拋物線的形狀是可以求出這兩點的曲率半徑的，但利用自然坐標系中的動力學公式，計算似乎更簡單些。,習題 2,約束與自由度,一般情況下，n個質(zhì)點的系

12、統(tǒng)，有k個約束：在3維空間，坐標3n個，有k個約束，則自由度為 s=3n-k，從而原則上可以只用s個獨立變量來描述系統(tǒng)（其余坐標可由約束方程限定）。這些獨立變量描述系統(tǒng)，在分析力學中對應于由這些自變量組成一個函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）。,,約束的類型,約束方程分類：依照含不含速度，分為：完整約束或幾何約束，非完整約束、運動約束或微分約束，如果可以積分，可將微分約束轉化為幾何約束；依照是否顯含時間，分為：穩(wěn)定約束，非穩(wěn)定約束；依照是否為等

13、號，分為：不等號時是可解約束，等號是不可解約束。,約束的類型,完整約束（幾何約束）穩(wěn)定的幾何約束不穩(wěn)定的幾何約束不完整約束 且不可積分成完整約束，也稱為微分約束?？山饧s束： 或 或雙面可解,不可解和可解約束,每個不可解約束，會使系統(tǒng)降低一個自由度。,約束的一些示例,活塞和轉輪連桿系統(tǒng),組合擺,純滾動的約

14、束系統(tǒng),完整約束使得自由度減少，一般的完整約束可寫為方程變分和微分有很多共同之處，但變分可以是瞬時完成的，即 dt = 0，上式變分之后，可成為廣義坐標q的變分 dq 的線性方程，形如 其中， ，這種形式是分析力學中處理約束所需要的。,約束變分的線性方程,完整約束使得自由度減少，非完整約束中，一般不可積分，因此不影響獨立變量的個數(shù)，但如果是線性約束，能影響廣義坐標變分的獨立性。線性非完整約束形如

15、 可得到與幾何約束所導出的變分線性方程的類似結果（注意到dt=0） 因而起到與幾何約束類相的效果。,可化為線性變分的非完整約束,廣義坐標,坐標的個數(shù)比系統(tǒng)的自由度s多的時候，存在約束。約束的個數(shù)k正好等于坐標的個數(shù)減去系統(tǒng)自由度。用s個獨立坐標來描述系統(tǒng)，這些獨立變量稱為廣義坐標，而這些坐標的數(shù)目即為系統(tǒng)的自由度。對應滿足約束條件的質(zhì)點坐標位置，有對于可解約束，是將其視為不可解約束來處理，如果發(fā)生離開約束的情況，就放棄約

16、束，增加一個獨立坐標，重新處理。,廣義坐標的選用,各個質(zhì)點的真實坐標可以入選系統(tǒng)的廣義坐標。n個質(zhì)點的系統(tǒng)，真實坐標有3n個，但廣義坐標只有s=3n-k個。由于存在k個約束，廣義坐標的個數(shù)較少，需要選擇使用。廣義坐標也可以選用其他參數(shù)。選取的原則是：能夠方便地表示系統(tǒng)每個質(zhì)點的幾何位置。即表達式 越簡潔越好。,第3次課,作業(yè)：1.1，1.2，1.3,虛位移,假想系統(tǒng)的各質(zhì)點瞬時發(fā)生了微小的符合約束條件的位移，稱為虛位移。

17、位移發(fā)生在與約束面相切的方向，而約束力是發(fā)生在與約束面垂直的方向。用廣義坐標表示了各個質(zhì)點的位置之后，虛位移可以看作當廣義坐標任意變化之后，各個質(zhì)點位置隨之變動而產(chǎn)生的位移。廣義坐標的變化可以任意選取，但真實坐標的變化因為有約束存在而不能任意選取。,虛位移和真實的微小位移的差別,1.虛位移是瞬時完成的（dt=0），而實位移需要一小段時間（dt≠0）。2.虛位移在滿足約束的條件下可以任意選取，并未真是發(fā)生，而實位移一般與質(zhì)點的真實運

18、動相關。3. 虛位移的方向無論是穩(wěn)定約束還是非穩(wěn)定約束，都是沿著約束的切線方向，而實位移在非穩(wěn)定約束時，不一定沿著約束的切線方向。（例如，在膨脹著的氣球上爬行的小蟲）,理想約束,約束力常常與約束面的方向相垂直，或在系統(tǒng)中作為內(nèi)力雙雙出現(xiàn)，有其中 是虛位移習慣上，將虛位移視為變分，實位移視為微分。,分析力學中處理的約束情況絕大多數(shù)（或者說默認為）是理想約束。非理想約束的情

19、況下，分析力學常用的方法是不成立的，通常可以將某些引起虛位移做功的約束力視為主動力，化為理想約束處理。,,,理想約束,兩質(zhì)點A和B安置在剛性輕桿兩端，桿可繞中央的O點旋轉。在質(zhì)點A上施加一個力F，考慮兩質(zhì)點所受到的約束力，是否一定與虛位移方向垂直？是否為理想約束？這個例子，雖然每個質(zhì)點的約束力并不與虛位移垂直，可驗證其仍是理想約束。,,,,A,O,B,,F,,,,,,理想約束,理想約束的常見的三種情況舉例：約束力與虛位移垂直。例如限

20、制在曲面上運動的質(zhì)點所受到的約束力。約束力與虛位移點乘為0。約束力中，作用力和反作用力成對出現(xiàn)。如氣缸的鉸鏈處虛位移與約束力不垂直，但成對的作用力和反作用力的虛位移相同，因此做功求和為0。其他體系如杠桿兩端的約束力不同，位移也不同，但若將一些約束器械也納入系統(tǒng)考慮，則因作用力和反作用力成對出現(xiàn)，從而保證了約束力做功求和為0?？傊?，機械系統(tǒng)不能憑空產(chǎn)生能量（否則就可制作永動機），若不因為摩擦等損耗能量，則其虛位移過程中所做功為0。,

21、考慮空間曲面的約束，取3維空間直角坐標為廣義坐標，曲面的幾何約束為對于曲面上相鄰的任意點，相距d r，有即 與曲面的切面垂直。同時，約束力也與曲面的切面垂直，因而兩者平行，滿足關系其中c是系數(shù)，R是約束力。,理想約束,非理想約束的情況,非理想約束時，理想約束條件不成立。常見的情況有：有摩擦等損耗能量情況，如機械裝置中潤滑不好。約束體的質(zhì)量不可忽略，其運動所具有的動能不可忽略，如活塞裝置中的連桿質(zhì)量較大，這時就

22、不能將連桿視為約束體了，必須將其納入系統(tǒng)，系統(tǒng)才能是理想約束。約束體產(chǎn)生形變，使部分能量轉為彈性勢能被約束體存儲?？傊?，約束體不能對系統(tǒng)能量產(chǎn)生影響，否則，約束力做功之和不為0。,虛功原理,系統(tǒng)處于平衡時，每個質(zhì)點所受合力為0考慮虛位移所做的功，有對于理想約束，約束力所作虛功為0。從而在虛位移下主動力做的功總和也為0，即,虛功原理,虛功原理可處理系統(tǒng)的平衡問題。此時，我們只要關注系統(tǒng)的主動力的總虛功為0的事實。而約束力在方

23、程中消失，我們不必去解算。顯然，這是系統(tǒng)處于平衡的必要條件。對于不可解的(穩(wěn)定)約束，這個條件可以證明也是充分條件（約束如果不是穩(wěn)定的，就不會有靜力平衡的情況出現(xiàn)）。,虛功原理,使用廣義坐標，方程可以化為：由于廣義坐標是獨立變量，因此有必要定義廣義力方程化為,由于廣義坐標的獨立性，系統(tǒng)平衡時有一般對于保守力體系，機械能守恒，保守力做功則系統(tǒng)勢能減小，有則系統(tǒng)平衡時

24、 ，說明系統(tǒng)勢能V達到極值。若是極小值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定平衡。,虛功原理,對于保守力體系，虛功原理可化為則系統(tǒng)的勢能達到極值，極小值時平衡是穩(wěn)定的，極大值時平衡是不穩(wěn)定的,虛功原理,雙連桿的平衡問題勻質(zhì)的雙連桿一端固定在頂部，另一端受到水平方向恒定的力，求平衡時兩桿的角度。求約束力時，可將約束力看成主動力，同時解約束，增加自由度，然后求解。（本書29頁。秦家樺，285頁。陳世民，170頁。金尚年，46頁。）,虛功原理舉例

25、,,,求解,解：,第4次課,作業(yè)：1.9，1.10，1.11,圓弧中兩球的平衡問題半徑為R的固定圓弧上，有兩個同樣大小但質(zhì)量不同的勻質(zhì)小球，其半徑為R/3，求平衡時兩球的位置。這個問題用虛功原理或勢能最小原理。,虛功原理舉例,求解,解：這里三個球心正好構成正三角形。平衡時，小球組的質(zhì)心正好在鉛垂線上，是最低的。,求約束面的形狀一個均質(zhì)桿一端靠在光滑的墻壁，另一端所在的約束面是什么形狀才能使桿在任何位置都能平衡？（本書第10頁

26、）用勢能最小原理，當虛位移發(fā)生時，桿的重心高度應該不變。,虛功原理舉例,達朗貝爾原理,考慮動態(tài)情況，這時可以將系統(tǒng)中的每個質(zhì)點的加速運動看成在局部的非慣性參考系下的靜力平衡問題，需要加上慣性力，因此,達朗貝爾原理進一步深化,由于廣義坐標的獨立性，從達朗貝爾原理可進一步推出,拉格朗日方程的由來,注意到由 同時將廣義速度與廣義坐標視為不同的變量，可推得,拉格朗日方程,因此，得到拉格朗日方程其中T是系統(tǒng)質(zhì)點的總動能,保

27、守力體系的拉格朗日方程,對于保守力，由于拉格朗日方程成為其中L=T-V是系統(tǒng)的拉格朗日量。,拉格朗日方程方法的長處,拉格朗日方程依然是從牛頓力學導出的，其方程與牛頓力學給出的結果必然相同。拉格朗日方程方法適合處理具有復雜約束的系統(tǒng)。廣義坐標的優(yōu)選可使得約束的表達式更加簡單。約束使自由度減少，從而使方程數(shù)減少，未知量減少，自然消去了很多不需要知道的約束力未知數(shù)。拉格朗日方法是使用能量作為分析對象的，而能量是標量，處理方便；

28、另外，能量在各種物理過程中普遍存在并相互轉化，可方便地推廣應用到其他物理領域。而牛頓力學是使用矢量分析，受坐標變換影響大，且矢量有較多的分量，處理較繁瑣。,拉格朗日方程解法步驟,確定系統(tǒng)自由度選擇廣義坐標將各個質(zhì)點的位置矢量用廣義坐標表達計算各個質(zhì)點的速度給出系統(tǒng)的總動能如果是保守系，給出勢能，如果不是保守系，給出廣義力相應得到拉格朗日方程組結合初始條件求解,實例,連線穿孔兩小球的運動自由度為2廣義坐標r，q。r1=

29、 r er，r2= (r-L) ez,實例,切向方程(q)即表示角動量守恒。應用于徑向方程(r)中，可積分化為類似質(zhì)點在勢阱中所作的自由度為1的運動，能量由勢能和動能之間相互轉換。,第4次課,作業(yè)：1.6，1.8，1.13，1.14,哈密頓原理,作用量的定義體系從時刻t1到時刻t2的運動過程中，定義其作用量為哈密頓原理告訴我們，系統(tǒng)從t1演化到t2的所有可能路徑中，系統(tǒng)將沿著使作用量取極值的那條路徑移動?！翱赡苈窂健笆侵笍V義坐

30、標qi關于時間t的所有連續(xù)可微的函數(shù)關系qi(t)，且在初始時刻t1和終了時刻t2的位置是已知的確定值。,變分法求極值,哈密頓原理告訴我們，求解真實運動過程（得到坐標與時間的函數(shù)關系）就是尋求作用量函數(shù)達到極值的問題。對于自變量為“函數(shù)”的函數(shù)極值問題，可以使用變分法。為了求S的極值，使函數(shù)q(t)稍作改變，改變量為l*dq(t)，其中dq(t)在兩端為0且連續(xù)可導，l為系數(shù)參量。,變分法求極值,函數(shù)q(t)變成q(t)+l*d(t

31、)，這時積分值S也可以看成是參數(shù)l的函數(shù)。如果函數(shù)q(t)可以使S取到極值，同樣必須在l=0時，S(l)取極值。即,變分法求極值,積分得（注意到ddq=ddq）由于dq(t)在兩端為0且其他點的任意性，從而必須有,變分法求極值,S取極值時，所需滿足的條件正是拉格朗日方程。反之，真實的過程滿足拉格朗日方程，能使作用量函數(shù)S取到極值。以上過程也能直接用變分法進行：,變分法求極值的其他例子,最速下降線問題。上下兩端點固定，求哪

32、種曲線的軌道能使質(zhì)點從上端點由靜止在最短時間內(nèi)運動到下端點？,變分法求極值的其他例子,最速下降線問題，解為擺線。令q為曲線上的切線與x軸的夾角，則,變分法求極值的其他例子,懸鏈線問題，解為雙曲余弦線。,光線行進時間為極值（通常是極小值）的路徑。,變分法求極值的其他例子,單位球面上短程線問題。 a代表切線et與經(jīng)線eq夾角。由于z軸選取的任意性，我們可取p1在北極點，則c1=0。et與經(jīng)線eq夾角a始終為0，即沿經(jīng)

33、線走到p2點。,變分法求極值的其他例子,事實上，可積分求解球面上短程線問題：是過零點的平面方程，應該是同時過始末兩點，且與球面相交所得的圓。,變分法求極值的其他例子,第5次課,作業(yè)：1.16，1.18，1.20，1.21,條件變分問題,積分約束條件下的變分問題舉例：由一條長度為L且始末兩點是x軸上固定點的曲線與x軸圍成最大面積。通用的處理方法：將約束條件乘以參數(shù)l，加到被積函數(shù)之中，使之取極值。S若取到極值，必

34、須 即滿足約束條件。,條件變分問題,令q為曲線切線與x軸的夾角，則,與哈密頓原理類似的其他原理,莫培督原理。應用于保守力體系。等能而不等時的變分為0。由哈密頓原理：為了強調(diào)是等能變分而不是等時的，變分符號用 D 代替 d ：,莫培督原理,進一步，若動能T可改寫為：則式中dt已被消去。這即是莫培督原理的變分形式，可用等能變分求運動軌跡。,莫培督原理舉例,求拋體運動,莫培督原理解平方反比力,求平方反比力有

35、心力場中的運動,與哈密頓原理類似的其他原理,費馬原理應用于幾何光學。光線沿用時最短的路徑前進平衡體系能量最小（重力勢能，靜電能，磁場能量），如果沒達到最小，可經(jīng)過一段時間的調(diào)整，耗散能量，最后達到最小。而哈密頓原理和費馬原理的最小值取得是瞬時的。,從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的相加性,兩個相互獨立體系組成統(tǒng)一體系：LA=TA-VA，LB=TB-VB，則L=LA+LB由于兩系統(tǒng)相互獨立，必須兩項都為0。因而可通過L的簡單相

36、加合并兩個相互獨立體系，反之也可把L中的獨立體系分離出來。,拉格朗日函數(shù)可以加上任一個函數(shù)f(q,t)的時間全微商，不影響結果。因為全微分的積分是定值，對作用量的變分沒有貢獻。由于始末端固定，f的變分為0也可以直接驗證 滿足拉格朗日方程。,從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的非唯一性,直接驗證：為了簡便，拉格朗日函數(shù)中的時間全微分項可以適當去除。,從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的非唯一性,,,解題實例,螺旋線

37、上的珠子軌道方程為已知,,,,,,,陳世民，P25例1.5,解題實例,在豎直平面內(nèi)的彈簧擺,解題實例,在豎直平面內(nèi)的兩個繩連重物,第6次課,作業(yè)：1.24，1.25，1.26，1.28,拉格朗日函數(shù)與運動積分,一般情況下，拉格朗日方程為s個二階微分方程（s為自由度），求解之后，有2s個積分常數(shù)。這些積分常數(shù)需要初始條件（t=0時的廣義坐標和廣義速度）確定，得到有時，某個Ci可以表示為廣義坐標和廣義速度的組合，在運動過程中保持守恒，

38、成為運動積分：,拉格朗日函數(shù)與運動積分,廣義動量的定義：拉格朗日方程成為類似牛頓定律的方程循環(huán)坐標：如果拉格朗日函數(shù)中不顯含有某個廣義坐標 qi ，則此坐標成為循環(huán)坐標。循環(huán)坐標對應的廣義動量 pi 守恒，是運動積分。,拉格朗日函數(shù)與廣義能量,當拉格朗日函數(shù)不顯含時間 t 時，能夠得到的運動積分是廣義能量 H。,拉格朗日函數(shù)與廣義能量,對于幾何約束，可以求速度表達式為：動能表達式中所含的廣義速度的,拉格朗日函數(shù)與廣義能量

39、,此時，L不顯含時間 t 時，有守恒量對于穩(wěn)定的幾何約束，T=T2，H=T+V是機械能。這里著重指出的是，如果約束是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)的機械能并不守恒，守恒的是廣義能量H。,廣義能量舉例,求解一個彈簧振子在一個以w角速度繞z軸旋轉的、在xy平面內(nèi)的光滑管中的運動。與機械能守恒不同可看作是離心力產(chǎn)生的勢能。不穩(wěn)定約束產(chǎn)生了T0項,z,x,y,相對論中的光速不變性，要求光在運動時的空間和時間的參量變化保持下式不變（都為0）

40、：推而廣之，我們要求在相對論中，質(zhì)點移動產(chǎn)生的ds在不同參考系中也保持不變。同時我們知道在普通三維空間中，兩點之間的間距|dr|在不同參考系中都保持不變，因此，只要將時間變成第4維，運動位移成為4維向量 而ds正比于它在4維空間中的間距|dr(4)|，也能保持不變。,相對論時的拉格朗日函數(shù),如何描述一個自由質(zhì)點的運動，是最基本最簡單的問題。對此，我們希望給出相對論時空中的自

41、由質(zhì)點運動的作用量函數(shù)。因為作用量函數(shù)是標量，標量不會因選取不同的坐標系而變化，而對于自由運動的質(zhì)點，我們能構造出的具有這種不變性的量僅僅是它運動時的4維間距，是僅知的標量。因此，取為了能在低速情況下回到經(jīng)典的拉格朗日函數(shù)，必須取恰當?shù)南禂?shù),相對論時的拉格朗日函數(shù),這樣，我們得到了相對論時的拉格朗日函數(shù)，并能驗證它在低速情況下能回到經(jīng)典力學的拉格朗日函數(shù)（僅相差一個常數(shù)）：從而，質(zhì)點的動量為與經(jīng)典情況相比，產(chǎn)生了質(zhì)量增

42、加的效果。,相對論時的拉格朗日函數(shù),保守場中，質(zhì)點的運動方程為：這即是質(zhì)點的受力方程動能,相對論時的拉格朗日函數(shù),質(zhì)能公式：這里b是歸一化速度，g是相對論因子。拉格朗日函數(shù)這時并不是 T-V（動能減勢能）。有了拉格朗日函數(shù)，相對論的運動過程都已經(jīng)得到解決。具體運用到各個方面，可以與各個經(jīng)典物理的結果作比較分析。,相對論時的拉格朗日函數(shù),4維時空的“位移”：4維位移的絕對值是4維空間的標量，不隨選取不同的坐標系

43、而變化。對于另外一個以勻速v0運動的慣性系，經(jīng)典力學給出伽利略變換：我們需要尋找4維時空的變換，使得在低速時是伽利略變換，且保持4維矢量的模不變。,相對論的時空變換,兩個慣性系之間的4維時空的坐標進行變換時，由于起始時間和原點重合，因而時空坐標原點也重合。4維時空點在兩個坐標系中分別表示為而在低速時近似要有這里 b=v0/c，比較之后近似有歸一化后，可取與之正交的 ，

44、從而,相對論的時空變換,因為dt 是4維空間的標量，是時空坐標變換時的不變量，用它代替dt 求速度時，可得 4維空間的速度向量 u(4) =(dr, icdt)/dt = g(v, ic) 4維向量：動量-能量 mu(4) = (p,iE/c)它們都遵從洛侖茲變換。如它們都有不變的模,相對論的時空變換,第7次課,作業(yè)：1.30，1.33，1.36，1.37,拉格朗日函數(shù)的空間均勻性,拉格朗日函數(shù)的空間均勻性指當將系統(tǒng)進行

45、一個微小的平移之后，拉格朗日量不改變。由dr的任意性得到動量守恒。,拉格朗日函數(shù)的空間各向同性,拉格朗日函數(shù)的空間各向同性指當將系統(tǒng)進行一個微小的轉動之后，拉格朗日量不改變。由dj 的任意性得到角動量守恒?？臻g均勻性可看作x,y,z是循環(huán)坐標，各向同性可看作j是循環(huán)坐標。,帶電粒子在電磁場中的拉格朗日函數(shù),在相對論中，我們?nèi)?維時空的位移向量為空間的電磁場同樣是由4維的電磁場勢能向量描述，后面可以驗證可寫為：

46、描述帶電粒子在電磁場中運動的作用量函數(shù)dS還需要有一個標量部分，這個標量要有描述粒子運動位移的成份，也要有描述電磁場的成份。此時，dr(4)?(A,ij/c)符合要求。兩個4維向量點乘，得到不隨坐標變化的標量。另外還要乘以粒子的電荷e。,帶電粒子在電磁場中的拉格朗日函數(shù),在相對論中，可取作用量函數(shù)為而對于低速情況，可取普通的動能代替拉格朗日函數(shù)的第一項。當然也可以不替換。得到拉格朗日函數(shù)廣義動量：拉格朗日方程：,帶電粒子在

47、電磁場中的拉格朗日方程,x分量為拉格朗日方程：利用得到洛侖茲力方程,粒子在電磁場中運動方程的4維形式,用4維向量重新寫拉格朗日函數(shù)和方程：得到Fji是電磁場張量。方程在4維時空坐標變換下形式不變。,粒子在電磁場中運動方程的4維形式,矩陣形式：矩陣[Fji]是反對稱的，求本征值方程|Fji-lI|=0時，是關于l2的一元二次方程。由于本征值在坐標變換時的不變性，因而方程系數(shù)也是不變的。,粒子在電磁場中運動

48、方程的4維形式,其中， 是標量，以后在電磁場的拉格朗日函數(shù)中需要用到。另一個系數(shù)E?B也是不變的，但它是贗標量（考慮時間反向的運動，從受力方程看，速度反向，電場不變而磁場反向，因而E?B反號，而真標量應該不變。），但(E?B)2是標量。,第8次課,作業(yè)：1.29，1.34，1.38，1.39,兩體碰撞,兩體問題是質(zhì)點相互作用中最簡單最基本的過程。大到太陽和地球的相互作用，小到原子核之間的散射碰撞，都可以簡化為兩體問題。兩體問

49、題可以約化為單質(zhì)點的有心力問題。用兩點的質(zhì)點系的質(zhì)心位置rc和兩點間的位移r代替兩質(zhì)點的位置r1，r2。,兩體碰撞的拉格朗日函數(shù),定義 m=m1m2/(m1+m2) 是約化質(zhì)量，可解得從而拉格朗日函數(shù)可寫為,兩體碰撞是有心力作用下的平面運動,利用拉格朗日函數(shù)的相加性，分解為一個質(zhì)量為（m1+m2）的自由質(zhì)點，與一個質(zhì)量為 m 的在勢能 V(r) 中運動的粒子。牛頓第三定律告訴我們，兩質(zhì)點的相互作用是沿著 r 方向的，因此勢能 V(

50、r) 產(chǎn)生的作用力是有心力。有心力作用時，力矩為0，因而角動量 J = r x mv守恒。以角動量的方向為z軸，因為r垂直于J，質(zhì)點可限制在xy平面內(nèi)運動。,兩體碰撞的方程,約化質(zhì)量質(zhì)點的拉格朗日函數(shù)：相應的拉格朗日方程：角動量守恒可寫為b是瞄準距離，v0是初始速度,彈性碰撞與非彈性碰撞,彈性碰撞時，相互作用力是保守力，機械能守恒。約化質(zhì)量的質(zhì)點的初速度與末速度相等。這意味著它的速率不變但運動方向可能改變。|v1&

51、#39;-v2'|=|v1-v2|非彈性碰撞時，有耗散作用力將一部分機械能轉變成熱能，因而其末速率比初速率小，兩者比例為參數(shù)e。e=1是彈性碰撞，而非彈性碰撞時e<1。|v1'-v2'|=e|v1-v2|,彈性碰撞與非彈性碰撞,一般來說，碰撞之后的速度表示為v1' = vc + | v1-v2 | e m2 / (m1+m2)v2' = vc - | v1-v2 | e m1 / (m

52、1+m2)其中 vc = (m1v1+m2v2) / (m1+m2) 是質(zhì)心的速度，e 是不超過1的向量，代表質(zhì)點在質(zhì)心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度的恢復率。對于彈性碰撞，其數(shù)值為1，對于非彈性碰撞，其數(shù)值小于1。,平方反比力的碰撞,對于平方反比力，假設 F(r)=k/r2 ，k的符號決定是斥力或者是引力。對時間積分：從而,平方反比力碰撞的軌跡,因此取eq方向，除以h或是雙曲線，最近距離為,平方反比力碰撞的偏轉角,令

53、 r →無窮大，求偏轉角j由此得到偏轉角這里b是瞄準距離， b0是偏轉90°的瞄準距離,微分散射截面,通過散射過程，某一小塊立體角dW（可以看作是單位球上的一塊小面積）與某塊入射面積ds對應起來，微分散射截面就是指 ds/dW。由偏轉角和瞄準距離的關系就能得到散射截面。盧瑟福散射實驗,B,,,,,,,,q,A,b,,,,,,,微分散射截面,平方反比力的散射截面為剛性球的散射截面,碰撞速度的圖示,質(zhì)心系

54、中，m1和m2的初始速度為 v1，v2 ~（m2，m1）碰撞之后速度為v'1，v'2，~（em2, em1）質(zhì)心速度為vc還原到實驗室坐標系里，末速度為v'1，v'2,第9次課,作業(yè)：2.1，2.2，2.3,實驗室參考系的偏轉角,考慮實驗室參考系中，初始時m2是靜止的。畫出速度 v1c，v2c，v'1c，v'2c，v'1，v'2，vc長度比例 m2，m1，em2,

55、 em1, ??，??，m1,碰撞問題舉例,平面上兩個小球的彈性碰撞，m2初始速度為0。證明：若 m1=m2時碰撞之后兩小球的運動方向相互垂直?？稍谫|(zhì)心系作速度分析說明兩球末速度相互垂直（上圖）。也可用勾股定理對應直角三角形來證明。也可沿作用力方向分解說明其后速度垂直（下圖）。,碰撞問題舉例,平面上兩個小球的彈性碰撞，m2初始速度為0。分 m1>m2和m1m2時m1最大偏轉角m1<m2時m2最大偏轉角,m1>

56、;m2,m1<m2,實驗室參考系的微分散射截面,只要求出實驗室參考系與質(zhì)心系的立體角之比，就能利用質(zhì)心系的微分散射截面公式。完全彈性碰撞時，e=1：由得,實驗室參考系的微分散射截面,考慮質(zhì)量比a=m1/m2<<1，=1的兩種情況。a<<1a=1,實驗室參考系的微分散射截面,對于盧瑟福散射，考慮a=m1/m2<<1，=1的兩種情況。a<<1a=1,實驗室參考系的動

57、能交換,碰撞之后 m1的動能平均值為利用剛性球模型當a=m1/m2=e2時碰撞交換走的動能最多，此時m1損失的動能占原先的1/(e2+1)。,相對論高能粒子的碰撞,以 p1，E1，p'1，E'1和 p2，E2，p'2，E'2 分別代表 m1和 m2 質(zhì)點在碰撞前、后的動量和能量，運用動量守恒和能量守恒，有由于碰撞是平面問題，可以看作p'1x，p'1y，p'2x，

58、p'2y，四個未知量，最后一個方程給出了能量E的表達，E視為已知。需求解的方程只有3個（動量2個能量1個）還需要一個條件，如偏轉角，或其中一個粒子的末動能等。,相對論碰撞例題,能量為Ei 的光子被質(zhì)量為 me的靜止電子所散射。散射后光子能量為Ef 并偏轉 q ，證明這幾個量有關系 1 - cosq = mec2(1/Ef - 1/Ei )證： 化簡整理即得。,相對論碰撞例題,一個靜止的p+介子衰變成m+子

59、和中微子。三者靜止質(zhì)量分別是mp0，mm0和0。求m子和中微子的動能：,開普勒定律,開普勒在觀測行星運動的基礎上提出了三個定律：1. 行星軌道是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。2. 行星與太陽連線在單位時間內(nèi)掃過相同的面積。3. 行星軌道周期的平方與其軌道半長軸的立方成比例。開普勒第一定律給出了運動的軌道，不是圓上套圓的運動，而是簡單的橢圓，是個不小的進步。開普勒第二定律給出了行星方位隨時間變化關系。開普勒第三定律給出了不同行星的軌

60、道之間的共性。,行星運動和受力,開普勒三定律是運動學定律，從而我們可以從它對行星運動的描述求得行星的受力。牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律，不是靠蘋果砸的，而是從開普勒定律推算得到。開普勒第一定律給出了運動的軌道是橢圓，因此這是平面運動，可用極坐標處理：計算行星受力，為,行星受力是有心力,由開普勒第二定律，有可令 是常數(shù)，即是角動量守恒，得到eq方向受力為0，行星受力為有心力。計算行星受力時，時間 t 也用此替換

61、：,萬有引力定律,這說明行星受力是平方反比引力。但系數(shù) 對每個行星都一樣嗎？開普勒第三定律講的是行星之間的共性，即 是常數(shù)。以上用到了可取 ，故萬有引力為,萬有引力中的拉格朗日量和廣義能量,萬有引力是保守力，提供了保守場引力系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為不顯含時間t，廣義能量（此處即機械能）守恒,作業(yè)：2.4，2.5，2.6,第10次課,微振動,各個質(zhì)點在平衡位置附近作微振動，且平衡點

62、的類型是穩(wěn)定平衡點，即偏離平衡時，系統(tǒng)的勢能增加。對于不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡，系統(tǒng)無法產(chǎn)生往復振動。 廣義坐標一般為 qi=qi(0)+qi(1)，其中0階量是常量，是平衡時的位置，而1階量是振動的變量。在解微振動的問題時，要重新取廣義坐標使得qi(0)=0。以下的研究都是基于平衡點在廣義坐標取0值進行的。若不這樣取，某些結果不能套用。,微振動勢能,對勢能 V(q) 在平衡位置附近進行小量展開取V(0)=0，平衡點上又有 ?V/

63、?qi=0，并記 因是微振動，忽略2階以上的高階小量。寫為矩陣二次型形式：這里第一個下標是行序數(shù)，第二個是列序數(shù)。,微振動的動能,因為系統(tǒng)有平衡位置存在，因此約束必是穩(wěn)定的，此時動能是廣義速度的二階齊次項（T=T2），為這里矩陣 m 的各個分量一般也可以是位置q 的函數(shù)，但我們對動能只能保留到2階小量，因而需在平衡點上計算 m，得到的 m 為常量。,微振動的拉格朗日函數(shù),動能 T 總不能小于0（速度平方總不小于0

64、），因此矩陣 m = ( Mij )sxs 是正定的。在穩(wěn)定的平衡點勢能V取極小值0，因此 V≥0，k=(kij ) sxs是正定的；同樣，T≥0， m =( mij )sxs也是正定的。拉格朗日函數(shù)可寫為拉格朗日方程為,微振動的拉格朗日方程,由矩陣m、k的對稱性，得到拉格朗日方程這是一個線性常微分方程組，即如果 q(A)和 q(B) 都是方程的解，則 q(C) = aq(A) + bq(B) 也是方程的解。因此，q 的運動

65、盡管可能出現(xiàn)多種頻率的振動，我們可以把每一個頻率的振動單獨分解出來研究。對于頻率為 w 的振動，不妨設為 q = Re[qw exp(iwt)]，得到線性方程組：,微振動的久期方程,q = 0顯然是方程的解。若要得到非 0 解，必須滿足久期方程：對于w2而言，這是一個一元s次方程，應該有s個解，稱為s個本征（簡正）頻率對于不滿足這個久期方程的頻率，線性方程組只有 0 解，意味著不存在該頻率的振動。反之，能夠出現(xiàn)的振動頻率必須滿足久

66、期方程，且是s個本征頻率之一。當w=wj時，方程組 線性相關，可解得一組非 0 振幅 qw =qwj，稱為本征（簡正）向量。,微振動的拉格朗日方程,方程組也可以變形為矩陣m可以求逆矩陣，是因為若它的行列式為0，則方程 一定有非0解，則對應非0的廣義速度其動能 ，這說明m的行列式是不可能為0的。

67、一維情況下方程 容易解出簡諧振動的解。對于多維情況，就要做廣義坐標q的線性變換q=RQ，通過適當?shù)淖儞Q矩陣R和新的廣義坐標Q，可使矩陣m-1k對角化，對角元素是本征值wj2，久期方程顯然正是求m-1k本征值的方程。,本征頻率重根時的本征向量,解出的本征向量顯然不具有唯一性，但同一個本征頻率對應的不同本征向量之間一般只相差一個常數(shù)倍，意義相同。只對于久期方程的n重根頻率，才能對應有線性無關的n個本征向

68、量出現(xiàn)。對于有重根頻率的情況，s個本征向量能通過適當選取使其是線性無關的。下面會證明w2是不小于0的實數(shù)，從而本征向量的各個分量也為實數(shù)。,微振動的本征振動,用 qwT 乘以線性方程，可知：由于 m和 k 都是正定的實對稱二次型矩陣，w2 也是非負的。因此，本征頻率都是實數(shù)。事實上，w2 也是矩陣 m-1k 的本征值，而 qw 正是對應的本征向量，滿足：由于久期方程是關于w2 的一元 s 次方程，應該有 s 個根，前面已經(jīng)