隨機(jī)信號(hào)答案

1、1.1已知高斯隨機(jī)變量已知高斯隨機(jī)變量X的概率密度的概率密度，求它的數(shù)學(xué)期望和方差。，求它的數(shù)學(xué)期望和方差。22()21()2xmfxe??????解：根據(jù)數(shù)學(xué)期望與方差定義：22()21()()2xmExxfxdxxedx???????????????令，，代入上式并整理xmt???dxdt??2222()02222ttmmExtedtedtm?????????????????????22()222()()()()2xmxmDxxmf

2、xdxedx?????????????????與前面以一樣同樣變換，即令，整理后xmt???222202()2tDxtedt??????查數(shù)學(xué)手冊(cè)的積分表，可得：221013(21)2naxnnnxedxaa???????AAAA令及，利用上式的積分結(jié)果，可得1n?12a?2222()22Dx??????可見高斯變量的概率密度分布由它的數(shù)學(xué)期望和方差唯一決定。1.2隨即變量隨即變量，其中，其中為隨機(jī)變量，為隨機(jī)變量，、為常數(shù)且為常數(shù)且0

3、，求，求與的相關(guān)的相關(guān)YaXb??XabaXY系數(shù)解：根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義，若，則()XEXm?()()XYEYEXbambm?????先求協(xié)方差，再求相關(guān)系數(shù)??????????()()()()()XYXYCEXEXYEYxEXyEYfxydxdy??????????????將，代入，并由概率密度性質(zhì)，消去，得到Y(jié)aXb??YXmamb??y222()[()]()()XYXXYXXXCaxmfxydydxaxmfxdxa????????

4、??????????同理，將，代入，并由概率密度性質(zhì)，消去則有()XYba??()XYmmba??x22211()[()]()()YXYYXYYYCymfxydxdyymfydyaaa??????????????????有前兩式聯(lián)立，解得，222YXa???XYXYC???這就是兩個(gè)隨機(jī)變量之和的概率密度。1.9隨機(jī)變量隨機(jī)變量，為相互獨(dú)立的高斯變量，數(shù)學(xué)期望為零，方差為為相互獨(dú)立的高斯變量，數(shù)學(xué)期望為零，方差為1。求的。求的1X2X概

5、率密度。12YXX??解：已知數(shù)學(xué)期望為零、方差為1的高斯變量概率密度為221()2xXfxe???先根據(jù)定義求，的特征函數(shù)1X2X2112()()wjwxXXwfxedxe????????222()wXwe???由特征函數(shù)的性質(zhì)，212()()()wYXXwwwe??????則可求得的概率密度：Y224111()()222yjwywjwyYYfywedweedwe???????????????????1.11求兩個(gè)數(shù)學(xué)期望和方差不同且

6、相互獨(dú)立的高斯變量求兩個(gè)數(shù)學(xué)期望和方差不同且相互獨(dú)立的高斯變量，之和的概率密度。之和的概率密度。1X2X解：設(shè)，可得兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的概率密度為12YXX??12111()()()YXXfyfxfyxdx??????將，的概率密度代入上式1X2X2211122221211()()22211121211()22xmyxmAxBxCYfyeedxedx??????????????????????????利用歐拉積分??221222